Показателно уравнение с две неизвестни

[Spider Iovkov]

Да се намерят всички решения на уравнението [tex]2^x=3^y+5[/tex].

[Реклама]

[ObsCure]

1)x=3
y=1

2)x=5
y=3

[martosss]

може ли да напишеш подробно как го намери това?

[ObsCure]

[Spider Iovkov]

Да пусна ли решението?

[ObsCure]

[martosss]

офф ясно, показателно с 2 неизвестни.. няма смисъл дори да се пробвам

[Spider Iovkov]

Ще докажем, че даденото уравнение не притежава други решения, освен [tex]x=3, y=1[/tex] и [tex]x=5y=3[/tex]. Непосредствено се проверява, че за [tex]x=1, x=2, x=4[/tex] то няма решение.
Нека допуснем, че някоя двойка от естествените числа [tex]x\ge6, y[/tex] удовлетворява уравнението. Тогава при делението на [tex]64[/tex] лявата страна ще дава остатък нула. Такъв остатък трябва да дава и дясната страна. А остатъците от делението на [tex]3^n[/tex] с [tex]64[/tex] са следните:
[tex]n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...[/tex]
остатък на
[tex]\frac{3^n}{64}: 3, 9, 27, 17, 51, 25, 11, 33, 35, 41, 59, 49, 19, 57, 43, 1, ...[/tex]
и по-нататък се повтарят периодично. От горното е ясно, че само при [tex]n=11[/tex] имаме остатък нула. Следователно [tex]y[/tex] трябва да бъде от вида [tex]y=11+16k[/tex].
Ще покажем, че такова решение на уравнението не съществува. За тази цел ще проверим, че не могат да съвпадат остатъците от делението на лявата и дясната страна на уравнението със [tex]17[/tex]. Наистина лесно се проверява, че [tex]3^{16}[/tex] при деление със [tex]17[/tex] дава остатък [tex]1[/tex], а следователно остатъкът от делението на [tex]3^7[/tex] със [tex]17[/tex] ще бъде същият, както от делението на [tex]3^{11}[/tex] със [tex]17[/tex], тоест равен на [tex]7[/tex]. Остава да се провери само, че [tex]2^n[/tex] при деление със [tex]17[/tex] никога не дава остатък [tex]12[/tex]. Това е така, понеже [tex]2^n[/tex] при деление със [tex]17[/tex] дава следните остатъци:
[tex]n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...[/tex]
остатък на [tex]\frac{2^n}{17}: 2, 4, 8, 16, 15, 13, 9, 1, ...[/tex], а след това периодично се повтарят.

[martosss]

Ми честито да им е Тия модули не ги чаткам Това ми е една от слабите страни.. явно трябва да взема да си купя 1 сборник със задачи със сравнения и ... Другата година 1-во място на всички олимпиади

[ObsCure]

Йеееееее,пУзнах Ех...де такъв късмет и с ТОТО49/Еврофутбол =)

[evgeni91]

"x", "y"_трябва ли да са цели числа или E[-∞;+∞]... ?!
ограничение не е дадено, а решението може да се изведе от функция на неизвестните едно-спрямо друго?\в съответното DM:\

[Spider Iovkov]

Числата трябва да са цели и положителни.