Доказателство

[Spider Iovkov]

За произволен триъгълник да се докаже неравенството:
[tex]m_{a}+m_{b}+m_{c}\le4R+r[/tex].

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Ето решението, .

Нека [tex]AM=m_{a}[/tex], [tex]BN=m_{b}[/tex], [tex]CP=m_{c}[/tex] са трите медиани в [tex]\triangle ABC[/tex] и точка [tex]O[/tex] е център на описаната окръжност. Означаваме [tex]OM=x[/tex], [tex]ON=y[/tex], [tex]OP=z[/tex]. Тогава трите неравенства
[tex]m_{a}\le R+x, m_{b}\le R+y, m_{c}\le R+z[/tex]
получаваме
[tex](1) m_{a}+m_{b}+m_{c}\le 3R+x+y+z[/tex].
Вземайки предвид, че [tex]x=Rcos \angle BAC, y=Rcos \angle ABC, z=Rcos \angle ACB[/tex], от [tex](1)[/tex] получаваме
[tex](2) m_{a}+m_{b}+m_{c}\le 3R+R(cos \angle BAC+cos \angle ABC+cos \angle ACB)[/tex].
По-нататък изразяваме сумата на косинусите чрез [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex] ([tex]r[/tex] е радиусът на вписаната окръжност). Имаме
[tex](3) cos \angle BAC +cos \angle ABC +cos \angle ACB=1+4sin{\frac{\angle BAC}{2}}sin{\frac{\angle ABC}{2}}sin{\frac{\angle ACB}{2}}[/tex].
От друга страна, от равенството [tex]pr=\frac{abc}{4R}[/tex] получаваме последователно
[tex](a+b+c)r=\frac{abc}{2R},[/tex]
[tex]2Rr(sin \angle BAC+sin \angle ABC+sin \angle ACB)=\frac{8R^3 sin \angle BAC sin \angle ABC sin \angle ACB}{2R},[/tex]
[tex]4rcos{\frac{\angle BAC}{2}}cos{\frac{\angle ABC}{2}}cos{\frac{\angle ACB}{2}}=16R sin{\frac{\angle BAC}{2}}sin{\frac{\angle ABC}{2}}sin{\frac{\angle ACB}{2}}cos{\frac{\angle BAC}{2}}cos{\frac{\angle ABC}{2}}cos{\frac{\angle ACB}{2}} (4)[/tex]
или [tex]\frac{r}{R}=4 sin{\frac{\angle BAC}{2}}sin{\frac{\angle ABC}{2}}sin{\frac{\angle ACB}{2}}[/tex].
От [tex](3)[/tex] и [tex](4)[/tex] получаваме
[tex](5) cos \angle BAC+cos \angle ABC+cos \angle ACB=1+\frac{r}{R}[/tex].
От [tex](5)[/tex] и [tex](2)[/tex] следва търсеното неравенство.

[Spider Iovkov]

Друг с по-стандартно и кратко решение?