Полиноми с цели коефициенти

[Мирослав Стоенчев]

Задача 1. Да се намерят всички полиноми [tex]P\in \mathbb{Z}[x][/tex] такива, че множеството [tex]\left\{P(x)|\ x\in \mathbb{Z}\right\}[/tex] съдържа безкрайна аритметична прогресия.

[Реклама]

[Nona]

[tex]P(x)=a_0x^n+a_1x^n+...+a_n \\ 2P(x)=P(x+1)+P(x-1) \\ 2a_0x^n+2a_1x^n+...+2a_n=a_0((x+1)^n+(x-1)^n)+a_1((x+1)^{n-1}+(x-1)^{n-1})+...+2a_n \\ 2a_0x^n+2a_1x^{n-1}+...+2a_n= 2a_0x^n+2a_1x^{n-1}+2(a_0+a_2)x^{n-2}+2(a_1+a_3)x^{n-3}+...2a_n \\ \Rightarrow a_2=a_0+a_2 \Rightarrow a_0=0 \\ a_3=a_1+a_3 \Rightarrow a_1=0 \\ . \\ . \\ . \\ \Rightarrow P(x)=a_{n-1}x+a_n[/tex]

Нещо вярно?

[Мирослав Стоенчев]

Съгласно условието, съществува редица [tex]\left\{y_k\right\}_{k=1}^{\infty}[/tex] от цели числа такава, че редицата [tex]P(y_1),P(y_2),\cdots[/tex] е аритметична прогресия.
Не е трудно да се докаже, че [tex]\deg P=1.[/tex]