Няколко задачи за кандидатстване

[daredevils]

Ето няколко задачки,които реших, но не съм сигурен за решенията и ...
зад1) sin³x (1+cotgx)+cos³x(1+tgx)=2[tex] \sqrt{sinxcosx} [/tex]
зад 2) [tex]\sqrt{a(3^ {x^{2}-2x }-2)+1 } =1- 3^ {x^{2}-2x }[/tex]
А)да се реши за a=1
Б)да се реши за произволно a

[Реклама]

[martosss]

[nikolavp]

[tex]\sin^3x(1+cotgx)+\cos^3x(1+tgx)=2\sqrt{sinx.cosx} DS: x\ne \frac{k\pi}{2} \\ \sin^3x(\frac{sinx+cosx}{sinx})+\cos^3x(\frac{sinx+cosx}{cosx})=2\sqrt{sinx.cosx}\\ \sin^2x(sinx+cosx)+\cos^2x(sinx+cosx)=2\sqrt{sinx.cosx}\\ (sinx+cosx)(\sin^2x+\cos^2x)=2\sqrt{sinx.cosx}[/tex]
Втората скоба ти дава 1 повдигаме на квадрат =>
DS: [tex]sinx.cosx \ge 0[/tex](това ясно се вижда, че е за всяко x в първи и трети квадрант
[tex]sinx+cosx\ge0 <=>sin(x+45^\circ)\ge0<=>x+\frac{\pi}{4}\in (2k\pi;\pi+2k\pi)<=>x\in [-\frac{\pi}{4}+2k\pi;\frac{3\pi}{4}+2k\pi][/tex]От тез двете красоти => [tex]x \in (2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi)[/tex]
[tex]\sin^2x+\cos^2x+2sinx.cosx=4sinx.cosx\\ 2sinxcosx=1\\sin2x=1\\2x=\frac{\pi}{2}+2kp\\x=\frac{\pi}{4}+kp[/tex]
и като се съобразим с дефиницонната област само [tex]x=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex] е р-е


EDIT: Леки поправки...

[martosss]

[martosss]

[daredevils]

Нещо не схванах обаче, за D.S. защо я получаваш така на подточка А) и ка Б) .... на втората задача
И мерси много martosss

[nikolavp]

Всъщност са четирите края. Но и двамата имаме грешка, понеже [tex]sinx,cosx\ne 0[/tex] От tg и cotg. Според мен това няма решение

П.С. Сега видях какво си цитирал. Аз имах в предвид и от двете решения, понеже не съм го правил на удвоен ъгъл

[ObsCure]

//Fun

[tex]\frac{sinx+cosx}{2}\ge\sqrt{sinxcosx}[/tex]

Равенство при

[tex]sinx=cosx => x=45^\circ => x_{1}=\frac{\pi}{4}+2k\pi;x_{2}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi[/tex]

[martosss]

[ObsCure]

[martosss]

леле, и тримата я сгрешихме и то няколко пъти