Иван Салабашев 2006

[Titu_Andrescu]

За да може да се подготвите по-добре за състезанието Иван Салабашев 2006 ще покажа задачите от състезанието Иван Салабашев 2005 и ще реша, подскажа и коментирам някои от тях. Тук може да решавате, коментирате и питате за задачите.

1). Най-малката стойност на а≥0, за която уравнението x^2+ax+a+1=0 има поне един реален корен, е:

A) 2.sqrt(2)+2; Б) 2.sqrt(2)-2; В) 2.sqrt(2)+3; Г) 2.sqrt(2)-3.

Решение. Верен отговор A), защото ако а=2.sqrt(2)+2, то x^2+ax+a+1=(x+sqrt(2)+1)^2.

2). Нека ABC е правоъгълен триъгълник с хипотенуза AB и височина CH (H е от отсечката AB). Ако BC и CH са катети на правоъгълен триъгълник с хипотенуза AC, то отнашението AH/BH е равно на:

A) (sqrt(5)+1)/2; Б) (sqrt(5)-1)/2; В) sqrt(5)+1; Г) sqrt(5)-1.

Решение. Нека BC=a, CA=b, CH=h, AH=x, BH=y. Търсим отношението x/y. От условието следва, че a^2+h^2=b^2 (1), но от друга страна (пак от теорема на Питагор) имаме, че a^2=h^2+y^2 (2) и b^2=h^2+x^2 (3). Заместваме с (2) и (3) в (1) и получаваме, че
(h^2+y^2)+h^2=h^2+x^2 или x^2-h^2-y^2=0. Но h^2=x.y, следователно x^2-xy-y^2=0 или (x/y)^2-(x/y)-1=0 от където палучаваме, че x/y=(sqrt(5)+1)/2, защото x/y е положително. Верен отговор A).

3.) Броят на целите числа a, за които уравнението x^3+(a-4)x^2+(a+4)x+9=0 има точна дво различни цели корена, е равен на:

A) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

Решение. x^3+(a-4)x^2+(a+4)x+9=(x+1)(x^2+(a-5)x+9)=0. Следователно уравнението има корен x_1=-1, за всяко a. От формули на Виет следва, че x_1.x_2.x_3=-9 или x_2.x_3=9.
Възможностите са следните (за да бъдат корените цели числа): (x_1,x_2,x_3)=(-1,1,9);(-1,-1,-9);(-1,3,3);(-1,-3,-3). Първата отпада, защото уравнението има 3 цели корена, а от останалите получаваме a=11,-1,15. Верен отговор В).

4.) От урна със 101 топки, номерирани с числата от 1 до 101, по случаен начин са извадени 2 топки. Вероятността сумата от номерата им да е равна на 52 е:

A) 1/(101); Б) 1/(102); В) 1/(201); Г) 1/(202).

Подсказка: възможностите сумата на 2 топки да е 52 са 1 и 51, 2 и 50, 3 и 49, .. , 25 и 27 - общо 50. Верен отговор: опитаите се да го откриете сами.

5.) Най-голямото естествено число n, за което 3^n дели произведението 3 x 33 x 333 x .. x 33..3(54 тройки), е:

A) 60; Б) 70; В) 80; Г) 90.

Решение. Използваме признака за деление на едно число на 3 и получаваме, че верният отговор е В)

6.) Разликите на вскеки две от пет естествени числа са различни. На колко най-малко може да бъде равно най-голямото от тези числа?

A) 10; Б) 11; В) 12; Г) 13.

Коментар: много хубава задача, на която ще е грехота ако ви покажа решението без да сте помислили сами.

Решете двете задачи:

7.) Да се намери най-малкото естествено число n със следното свойство: както и да оцветим в два цвята числата от 1 до n, винаги има четири едноцветни числа от 1 до n (не непременно различни) така, че сумата на три от тях да е равна на четвъртото.

8.) Да се намерят всички двойки (m,n) от цели числа, за които:
m(n^2+36)+n(m^2-36)+m^2(m-12)=0.

[Реклама]

[problem_fucker]

Да...
Хубаво беше състезанието тази година.
(за Старозагорското става дума)
Значи организацията въобще не ми хареса - не ми се иска да давам примери, но беше под всякаква критика. И за това си мисла че трябва да обвиним СМБ, защото не осигуриха помощ на господин Кънчев, който остана сам да се оправя.
Задачите малко се позабавиха (малко) и след това се оказва, че формата на изпита е променен! - 15 задачи за по-малките, 12 клас бяха сами-имаха 8 въпроса-4 тестови и 4 задачи за описване, и 3(!) часа за решаване, което затрудни допълнително пътуващите.
Искам да благодаря отново на господин Кънчев, защото той все пок намери време в петък да ни посрещне и да ни поздрави (пътувахме от Разград).

[problem_fucker]

А, и тито(съжалявам, не ти знам името) - тези задачи от 2005 за кой клас са?
и за задача 6 - едно обобщение - ако имаме n естествени числа, такива че разликата на всеки две от тях е различна, тогава кое е най-голямото от тях (въобще кои са тези числа)?

[dancho]

Може ли да ми кажете нещо повече за това състезание, както и задачите от тази година?

Кога се провежда?
Трудността на задачите?
Кой го организира?

[Titu_Andrescu]

Щом съм написал темата в Олимпиади за 9-12 клас, значи са задачите за по-големите, тоест 10-12 клас. За съжаление не мога да дам отговор на въпроса ти, ако числата от 6-та зодача са n : мисля, че отговорът много зависи от това какво число е n (не само четността).
Но за конкретната задачачислата според мен числата са : 1,3,8,11,12. Отг.В
Мисля, че не може да се намерят такива 5 естествени числа, не по-големи от 11 с исканото свойство. Но ако иска някои, нека опита.

[marto_mn]

Някой знае ли отговорите на задачите за 8 и 9 клас ?

[problem_fucker]

На бланката пишеше, че ще качат информация на math.bas.bg. но се съмнявам че ще стане скоро като знам как го обновяват.

[marto_mn]

Съгласен съм с теб

[Titu_Andrescu]

Отговори на задачите за 10-12 клас: ББААВА 7. x=y=z=3
Имам 24 точки и съм на 1 място в моя град!

[marto_mn]

[Titu_Andrescu]

Нека остане анонимно

[marto_mn]

А я знаеш ли резултатите на *** за 8 и 9 клас?????

[Titu_Andrescu]

[marto_mn]

Имах предивид не отговорите на задачите, а класирането Не цялото ,разбира се ,само началната тройка и точките им

[Titu_Andrescu]

Извинявай, не съм те разбрал. Ми нямам техните резултати.. учителят ми каза на само на мен, че съм първи с 24 точки. Това е което знам. От тук си направих извода за верните отговори и ви ги казах.

[lachoo]

аз съм първи във Враца за 11 клас с 19т

[M_Velinova]

Congratulation Titu_Andrescu, lachoo!

[sd_pld]

Nqkoi znae li koga 6te pusnat rezultatite v math.bas.bg,kakto pi6e na sustezatelniq list

[Titu_Andrescu]

Решение на една от задачите за 10-12 клас:
Със sum(f(i)) ше означаваме сумата на числата f(i):R-R където i се мени от 1 до 9

sum(i/(1+i²+i⁴)=
=1/2 . sum(1/(1-i+i²)-1/(1+i+i²))=
=1/2 .sum(1/(1-i+i²)-1/(1-(i+1)+(i+1)²))=
1/2. (1/(1-1+1)-1/(1-10+100))=1/2.(2-1/91)=45/91.

[*UKTC*]

Кога е датата на състезанието?

[M_Velinova]

Беше. На 2 декември.

[kisoso]

Хммм аз съм от Сфия и задачите бях доста по-трудни... не знам защо (ест, че темата беше по-различна). Бяхме едва 10-тина човека само, а и отговори не видях.

[kisoso]

М/у другото, къде може да се видят резултатите за Иван Салабашев или как да се ориентирам в math.bas.bg така, че да стигна резултатите. Не знам дали ще се забавят с резултатите, но тези от Черноризец Храбър излезнаха бързо поне за София.

[marto_mn]

Който иска да разбере отговорите на турнира, да влезне тук http://beta.pmgbs.com/

[soldier_vl]

[v1rusman]

За зада4а 5 :
Най-голямото естествено число n, за което 3^n дели произведението 3 x 33 x 333 x .. x 33..3(54 тройки), е:

A) 60; Б) 70; В) 80; Г) 90.

Решение. Използваме признака за деление на едно число на 3 и получаваме, че верният отговор е В)
Като използваме признака как "полу4аваме 4е отговорът е В) ???

[krassi_holmz]

За зада4а 5 :
[tex]A = \frac{10^1-1}{3}\frac{10^2-1}{3}\frac{10^3-1}{3}...\frac{10^54-1}{3} = \prod_{i=1}^{54} \frac{10^i-1}{3}[/tex]
[tex]\mbox{ord}_3 A = \sum_{i=0}^{\infty} \left\lfloor\frac{54}{3^i} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{54}{3^0}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{54}{3^1}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{54}{3^2}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{54}{3^3}\right\rfloor =80[/tex]