Задача от конкурс -1980г.

[Цецка]

Мъчих се, мъчих се...и не мога да я изкарам. Надявам се да ми дадете правилна насока за системата:

Да се намерят стойностите на параметъра m, за които системата y=mx^2-m-1 , x=my^2-m-1 има четири различни реални решения. Да се намери лицето S(m) на изпъкналия четириъгълник с върхове тези точки. Да се пресметне limS(m)
m->∞

[Реклама]

[martosss]

Защо не напишеш до къде стигаш?

[Цецка]

Като ги извадя примерно получавам (x-y)[1-m(x+y)]=0 и от там го разпадам на две подсистеми, които обаче се получава, че имат решения при всяко m. Като ги събера пък става една олелия с x+y и xy и ги полагам ама с това задачата не върви към някакъв край...
А иначе отговорът е m принадлежи на (-∞ , -3/2) u (1/2, +∞)

[martosss]

[r2d2]

При м=0 системата има амо едно решение.
Като извадим от първото уравнение второто получаваме:
[tex]y-x=m(x-y)(x+y).[/tex]
Нека х=у като заместим в първото уравнение намираме, че решения на системата са
[tex]A(-1;-1), \; B(\frac {m+1}{m};\frac {m+1}{m}). [/tex] Тези две решения са различни стига [tex]m \ne \frac{-1}{2}.[/tex]
При [tex]x \ne y[/tex] получаваме [tex]y=-\frac{1}{m}-x[/tex] и като замeстим в първото уравнение [tex]mx^2+x-\frac{m^2+m-1}{m}[/tex] c [tex]D=(2m-1)(2m+3)[/tex]
Понеже искаме 4 решения трябва [tex]D=(2m-1)(2m+3)>0[/tex]

Да отбелележим, че двете двойки решения лежат на перпендикулярните прави АВ: y=x;
CD: [tex]y+x=-\frac{1}{m}[/tex] и понеже А≠В С≠Д, системата има 4 различни решения за м<-3/2 или м>1/2.
Уморих се!

[Цецка]

Благодаря ви много за помощта. Излезе задачата, с доста мъка ама излезе.
А това, че диагоналите на четириъгълника са перпендикулярни следва от това, че функциите y=x и x+y=-1/m имат перпендикулярни графики ли? Малко съм зле с тая равнина, пък най-трудните задачи са точно такива

[ганка симеонова]

[tex]y=x ; y=-x-\frac{1}{m }[/tex]
когато произведението от коефициентите пред х на две линейни функции е-1( както в случая), техните графики са перпендикулярни прави..