Брахмагупта

[Night_Flower]

Моля, ако някой може да даде някоя задачка с приложение формулата на Брахмагупта за намиране лице на четириъгълник, да го направи.

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Да се намери радиуса на описаната окръжност около четириъгълник с дължини на страните [tex]a,\ b,\ c,\ d.[/tex]

[Spider Iovkov]

Да означим: [tex]AB=a, BC=b, CD=c, AD=d[/tex]. Нека [tex]\alpha, \beta, \gamma, \delta[/tex] са ъглите на дадения четириъгълник, вписан в окръжността; [tex]\angle BAD=\alpha, \angle ABC=\beta, \angle BCD=\gamma, \angle CDA=\delta[/tex]. Тогава за тях ще е изпълнено условието [tex]\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ[/tex]. При стандартните означения за [tex]\triangle ABC[/tex] имаме:
[tex]AC^2=a^2+b^2-2abcos\beta (1)[/tex].
Разглеждаме [tex]\triangle ACD[/tex] и прилагаме за него косинусовата теорема:
[tex]AC^2=c^2+d^2-2abcos\delta (2)[/tex].
[tex]\Rightarrow (1): AC^2cd=(a^2+b^2-2abcos\beta)cd; (2): AC^2ab=(c^2+d^2-2cdcos\delta)ab[/tex]; [tex](1)+(2) \Rightarrow AC^2(ab+cd)=((a^2+b^2-2abcos\beta)+(c^2+d^2-2cdcos\delta)ab,[/tex]
[tex]AC^2=\frac{a^2+b^2-2abcos\beta)cd+(c^2+d^2-2cdcos\delta)ab}{ab+cd}=\frac{a^2cd+b^2cd-2abcdcos\beta+abc^2+abd^2-2abcdcos\delta}{ab+cd}[/tex]. Като групираме, получаваме израза: [tex]AC^2=\frac{a^2cd+abc^2+b^2cd+abd^2}{ab+cd}-\frac{2abcdcos\beta+2abcdcos\delta}{ab+cd}=\frac{ac(ad+bc)+bd(bc+ad)}{ab+cd}-\frac{2abcd(cos\beta+cos\delta)}{ab+cd} \Rightarrow AC^2=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}-\frac{2abcd}{ab+cd}(cos\beta+cos\delta)[/tex]. Като съобразим, че необходимо и достатъчно условие един четириъгълник да е вписан в окръжност е [tex]\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ[/tex], достигаме до извода, че [tex]AC^2=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}[/tex].
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагаме косинусовата теорема и за косинуса на ъгъла [tex]\beta[/tex] получаваме: [tex]cos\beta=\frac{(ab+cd)(a^2+b^2)-(ad+bc)(ac+bd)}{2ab(ab+cd)}[/tex]
[tex]sin\beta=\frac{\sqrt{[2ab(ab+cd)]^2-[(ab+cd)(a^2+b^2)-(ad+bc)(ac+bd)]^2}}{2ab(ab+cd)}[/tex].
[tex]\triangle ABC: \frac{AC}{sin\beta}=2R \Rightarrow R=\frac{AC}{2sin\beta}[/tex]
[tex]\Rightarrow R=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{\sqrt{[2ab(ab+cd)]^2-[(ab+cd)(a^2+b^2)-(ad+bc)(ac+bd)]^2}}[/tex]

Явно има и разлагане на израза, но това ми беше достатъчно, .

[Spider Iovkov]

[Мирослав Стоенчев]

При стандартните означения [tex]p=\frac{a+b+c+d}{2},\ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} [/tex] получаваме [tex]R=\frac{1}{4S}\sqrt{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}.[/tex]