Задачка за 8 клас

[koki444]

ТРапецът ABCD (AB успоредна на CD) е вписан в окръжност. Намерете ъглите на трапеца, ако центърът на окръжността лежи на основата AB и AB = 2 BC.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

След като трапецът е вписан в окръжността, то той е равнобедрен. Да означим височината към основата с [tex]DH[/tex], малката основа — с [tex]x[/tex] голямата основа — с [tex]2x[/tex]. Тогава [tex]AH=\frac{x}{2}, BH=\frac{3}{2}x[/tex].
[tex]\triangle ABD[/tex] — правоъгълен, защото центърът на окръжността лежи върху [tex]AB[/tex], върху нейната среда. Тогава за височината [tex]DH[/tex] ще е в сила равенството:
[tex]DH^2=AH.BH \Leftrightarrow DH^2=\frac{x}{2}.\frac{3x}{2} \Leftrightarrow DH=\frac{x\sqrt{3}}{2}[/tex].
[tex]tg\angle DAH = \frac{DH}{AH}=\frac{x\sqrt{3}}{2}.\frac{2}{x} \Rightarrow tg\angle DAH=\sqrt{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow [/tex][tex] \angle DAH=60 \Rightarrow \angle BCD=120[/tex]

[martosss]

Е ми ако трапецът ти е АВСД, а центърът на окръжността ти е О, то АОД, ДОС, ВОС са равностранни триъгълници със страна [tex]R[/tex], откъдето трапецът е с ъгли 60°, 120°