Разстояние между две прави в куб

[complex]

Даден е куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ръб а. Намерете разстоянието между правите В₁С и BD.

Не мога да видя права, която е перпендикулярна и на двете прави. Бихте ли ми помогнали да открия коя е, аз ще се опитам сам да намеря на колко е равна?

[Реклама]

[Руси Колев]

[M_Velinova]

чертеж на куб

Разстоянието е [tex]\frac{\sqrt{3} }{3 }a [/tex]

Най- добре опитай с векторна база. Ако не се справиш ще напиша решението.
А чертежа ще ти помогне да измислиш и геометрично решение.

[Руси Колев]

[martosss]

ето ти същия куб

[Руси Колев]

[ObsCure]

[martosss]

Сега се сетих за нещо - пробвай да спуснеш перпендикуляр NK от N към ВС и да го свържеш с М - става правоъгълен триъгълник NMK... остава да изразиш хипотенузата ще кажа примерно че KN=NB това е което видях аз, ти си нататък Прехвърлям ти топката

[ObsCure]

Нека споменем едно основно правило при решаването на този тип задачи-Построява се равнина,минаваща през една от двете прави и перпендикулярна на другата.Това,което написах по-горе важи само когато тази равнина е налице.

[ianikia]

Ето един начин за намиране на това разстояние:

[Руси Колев]

[complex]

Аз го реших с вектори, решението е много по-елегантно. Аз получих, че [tex]\vec{B_1N} = \frac{2}{3 } \vec{B_C}[/tex] и [tex] \vec{BT}=\frac{1}{3}\vec{BD} [/tex] и след това просто си пресмятаме МN. Ако някой иска може да напиша решението.

[ObsCure]

[complex]

Аз съм кръстил оста TP на мястото на М сложете точка Т и на мястото на N сложете P.
[tex]\vec{BA}=\vec{u}; \vec{BC}=\vec{v}; \vec{BB_1}=\vec{w} [/tex]

[tex]\vec{B_1P}=x(\vec{B_1C})=x(\vec{v}-\vec{w})[/tex]
[tex]\vec{BT}=y(\vec{BD})=y(\vec{u}+\vec{v})[/tex]

[tex]\vec{TP}=\vec{w} + x(\vec{v}-\vec{w}) - y(\vec{u} + \vec{v})=(1-x)\vec{w} + (x-y)\vec{v} - y\vec{u}[/tex]

След като ТP e перпендикулярен на B₁C и BD трябва да са изпълнени следните условия:
[tex] \vec{TP} . \vec{B_1C}=0 \Leftrightarrow ((1-x)\vec{w} + (x-y)\vec{v} - y\vec{u})(\vec{v}-\vec{w})=0 \Leftrightarrow 2x-y-1=0[/tex]

[tex] \vec{TP} . \vec{BD}=0 \Leftrightarrow ((1-x)\vec{w} + (x-y)\vec{v} - y\vec{u})(\vec{u}+\vec{v})=0 \Leftrightarrow x-2y=0[/tex]
Правиме системата:
[tex]\begin{tabular}{|l}2x-y-1=0\\x-2y=0 \end{tabular}[/tex]
Намираме, че x=2/3 a y=1/3.
[tex]\vec{B_1N} = \frac{2}{3 } \vec{B_C}[/tex]
[tex] \vec{BT}=\frac{1}{3}\vec{BD} [/tex]
[tex]TP=\sqrt{\vec{TP}^2}=\sqrt{ ((\frac{1}{3} )\vec{w} + (\frac{1}{3} )\vec{v} - \frac{1}{3} \vec{u}))^2}=\frac{\sqrt{3} }{3 } [/tex]

[ObsCure]

Благодаря за решението,Complex.

[soldier_vl]

Искам само да отбележа, че много от стереометричните задачи се решават много лесно с вектори, стига да сте запознати с векторите. Задачите, които най-често се решават така са за разтояние между 2 кръстосани прави , а най-лесно е в куб, защото лесно се избира базата вектори + това дължината им е равна.

[nikolavp]

Още по интересно е, че не се учат в нащо училище, а винаги съм ги харесвал от физиката

[r2d2]

Eто го и търсеното разстояние. За обяснения вижте: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5783