лице

[ганка симеонова]

Намерете лицето на триъгълник АВС, ако страните на педалния му триъгълник са, 5, 12 и 13.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Това не беше ли триъгълник, образуван от петите на височините в даден триъгълник?

[estoyanovvd]

Основното в тази задача е, че триъгълник със страни 5, 12 и 13 е правоъгълен!!! Приемете го като упътване.

[Nona]

Първо ще докажем, че лицето на един триъгълник е равно на произведението на радиуса на описаната окръжност и полупериметъра на педалния триъгълник.

О - център на описаната окръжност
Н - ортоцентър
2р - периметър на педалния триъгълник А₁В₁С₁
R - радиус на описаната окръжност

[tex]\fbox {S=pR}[/tex]

Доказателство:
[tex]AO\bot B_1C_1, \ BO \bot A_1C_1, \ CO \bot A_1B_1 \\ S_{ABC}=S_{AC_1OB_1}+S_{BA_1OC_1}+S_{CB_1O_A_1}=\frac{OA.B_1C_1}{2}+\frac{OB.A_1C_1}{2}+\frac{OC.A_1B_1}{2}=pR[/tex]

Да се върнем към задачата.

[tex]13^2=12^2+5^2\Rightarrow \angle B_1A_1C_1=90^{\circ}=180^{\circ}-2\angle A\Rightarrow \angle A=45^\circ \\ \triangle AC_1B_1 \sim \triangle ABC \Rightarrow \frac{B_1C_1}{BC}=\frac{AC_1}{AC}=\cos\angle A \\ \Rightarrow BC=\frac{B_1C_1}{\cos\angle A} \\ R=\frac{BC}{2\sin \angle A}=\frac{B_1C_1}{2\sin \angle A\cos \angle A}=\frac{13}{\sin2\angle A}=13 \\ S_{ABC}=p.R=\frac{5+12+13}{2}.13=15.13=195[/tex]

[ганка симеонова]

Отличен(6), Нона....

[Руси Колев]

А трябва ли да се доказва подобието на ABC с останалите 4 триъгълника, както и перпенд. на AO и B1C1 примерно?? Или не е необходимо?
Перпендикулярните прави са си теорема, но за подобията незнам...

[ганка симеонова]

зависи. доколкото знам, в СУ можеш да ползваш всичко на готово, стига да го знаеш..

[Руси Колев]