Задача 7

[Мирослав Стоенчев]

Задача 7(estoyanovvd) Нека [tex]T[/tex] е вътрешна точка за остроъгълния [tex]\triangle ABC,[/tex] а отсечките [tex]MN,PQ,KL[/tex] са успоредни на [tex]AB,BC,CA,[/tex]минават през [tex]T,[/tex] като краищата им са върху страните. Докажете, че [tex]MT.TN+PT.TQ+KT.TL\le R^2,[/tex] където [tex]R[/tex] e радиуса на описаната окръжност около [tex]\triangle ABC.[/tex]
Кога се достига равенство?

[Реклама]

[estoyanovvd]

Нека [tex]TA^{'},TB^{'},TC^{'}[/tex] са перпендикулярите съответно към страните [tex] BC,CA,AB[/tex] на триъгълника АВС.


[tex]S_{TA^{'}B^{'}=\frac{TA^{'}.TB^{'}}{ 2}.sin(180^{0}-\alpha )=\frac{TN.TM.sin\alpha .sin\beta .sin\gamma }{ 2} [/tex] и от синусовата теорема за триъгълника АВС получаваме

[tex]S_{TA^{'}B^{'}=TN.TM [/tex] . [tex]S_{ABC} [/tex] . [tex] \frac{1}{4R^{2} } [/tex] , откъдето

[tex]S_{A^{'}B^{'}C^{'}=(TN.TM+TK.TL+TP.TQ)[/tex] . [tex]S_{ABC}[/tex] . [tex] \frac{1}{4R^{2} } [/tex]

Сега от известната задача на Ойлер за лицето на педалния триъгълник имаме

[tex]S_{A^{'}B^{'}C^{'}=\frac{1}{4 } .(1-\frac{d^{2}}{ R^{2}} ).S_{ABC}[/tex], където d е разстоянието от центъра на описаната около триъгълника АВС окръжност до точка Т, а R е радиуса на описаната окръжност.

Сега вече е ясно, че [tex]TN.TM+TK.TL+TP.TQ[/tex] = [tex]R^{2}-d^{2} [/tex] и останалото е за вас!

[estoyanovvd]

Тази задача две години беше носена на МОМ като предложение от България, но за мое скромно учудване не беше включена в Шортлиста на олимпиадите!

[evgeni91]

... интересна е задачата... доста мислех около варианта с подобните ▲ци но все не ми оставаше време да я погледна по-сериозно, иначе успях да хвана момента с височините, но не и да ги изразя...
...браво

[ins-]

Да, задачата си я бива. Ваша оригинална задача ли е? А за олимпиадите, според мен, постъпват много задачи и се дават добри задачи, но не непременно най-добрите.

[estoyanovvd]

[martosss]