Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача 7


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Mon Jun 09, 2008 1:43 pm    Заглавие: Задача 7

Задача 7(estoyanovvd) Нека [tex]T[/tex] е вътрешна точка за остроъгълния [tex]\triangle ABC,[/tex] а отсечките [tex]MN,PQ,KL[/tex] са успоредни на [tex]AB,BC,CA,[/tex]минават през [tex]T,[/tex] като краищата им са върху страните. Докажете, че [tex]MT.TN+PT.TQ+KT.TL\le R^2,[/tex] където [tex]R[/tex] e радиуса на описаната окръжност около [tex]\triangle ABC.[/tex]
Кога се достига равенство?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Tue Jun 17, 2008 7:43 pm    Заглавие:



Нека [tex]TA^{'},TB^{'},TC^{'}[/tex] са перпендикулярите съответно към страните [tex] BC,CA,AB[/tex] на триъгълника АВС.


[tex]S_{TA^{'}B^{'}=\frac{TA^{'}.TB^{'}}{ 2}.sin(180^{0}-\alpha )=\frac{TN.TM.sin\alpha .sin\beta .sin\gamma }{ 2} [/tex] и от синусовата теорема за триъгълника АВС получаваме

[tex]S_{TA^{'}B^{'}=TN.TM [/tex] . [tex]S_{ABC} [/tex] . [tex] \frac{1}{4R^{2} } [/tex] , откъдето

[tex]S_{A^{'}B^{'}C^{'}=(TN.TM+TK.TL+TP.TQ)[/tex] . [tex]S_{ABC}[/tex] . [tex] \frac{1}{4R^{2} } [/tex]

Сега от известната задача на Ойлер за лицето на педалния триъгълник имаме

[tex]S_{A^{'}B^{'}C^{'}=\frac{1}{4 } .(1-\frac{d^{2}}{ R^{2}} ).S_{ABC}[/tex], където d е разстоянието от центъра на описаната около триъгълника АВС окръжност до точка Т, а R е радиуса на описаната окръжност.

Сега вече е ясно, че [tex]TN.TM+TK.TL+TP.TQ[/tex] = [tex]R^{2}-d^{2} [/tex] и останалото е за вас!


Последната промяна е направена от estoyanovvd на Sun Nov 01, 2009 12:00 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Tue Jun 17, 2008 7:46 pm    Заглавие:

Тази задача две години беше носена на МОМ като предложение от България, но за мое скромно учудване не беше включена в Шортлиста на олимпиадите! Embarassed Embarassed Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
evgeni91
Редовен


Регистриран на: 01 May 2008
Мнения: 104
Местожителство: Видин
Репутация: 13.2
гласове: 3

МнениеПуснато на: Tue Jun 17, 2008 7:59 pm    Заглавие:

... интересна е задачата... доста мислех около варианта с подобните ▲ци но все не ми оставаше време да я погледна по-сериозно, иначе успях да хвана момента с височините, но не и да ги изразя...
...браво Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Jun 18, 2008 8:50 am    Заглавие:

Да, задачата си я бива. Ваша оригинална задача ли е? А за олимпиадите, според мен, постъпват много задачи и се дават добри задачи, но не непременно най-добрите.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Wed Jun 18, 2008 2:42 pm    Заглавие:

ins- написа:
Да, задачата си я бива. Ваша оригинална задача ли е? А за олимпиадите, според мен, постъпват много задачи и се дават добри задачи, но не непременно най-добрите.



Да, задачата си е моя, иначе не бих я предложил в рубриката! Имам и други, които са публикувани тук там, но вече май са забравени и ако искате, може да ви ги пусна и тук?!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Jun 18, 2008 5:10 pm    Заглавие:

estoyanovvd написа:
Имам и други, които са публикувани тук там, но вече май са забравени и ако искате, може да ви ги пусна и тук?!

Е ми давайте ги, ще ги пробваме Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.