"Хитра" задача!

[alf2003]

Трапецът ABCD е вписан в окръжността k. Диаметърът, построен през върха А, е перпендикулярен на бедрото BC. През върха С е спуснат перпендикуляр към основата АВ, който я пресича в точка М, а окръжността k в точка N и то така, че CM:MN=3:1.
Да се намерят ъглите на трапеца.

[Реклама]

[ганка симеонова]

определено "хитра задачка", щом на мен трапецът ми се изроди в триъгълник...

[ганка симеонова]

очевидно т.Н е ортоцентър за триъгълник ABC. тогава т.N е симетрична на Н, относно АВ=>[tex]MN=MH=x=>CH=2x [/tex]
[tex]BP//CN=>\angle CBP=\angle NCB=\alpha [/tex], но[tex]\angle NAB=\angle NCB=>\angle NAB=\alpha [/tex]
разглеждаме прав. [tex]\Delta ABP: \angle ABT=90^\circ -\alpha =>\angle TAB=\alpha [/tex]=>АН- ъглополовяща на[tex] \angle CAB =>\frac{AC}{AM }=\frac{CH}{HM }=\frac{2}{ 1}=>AC=2y;AM=y. [/tex]
тези две отсечки са хипотенуза и катет в прав. [tex]\Delta AMC=>ACM=30^\circ =>\angle CAM=2\alpha =60^\circ =>\alpha =30^\circ [/tex]
=>[tex]\Delta ABC[/tex]- равностранен=>[tex]AB=AC=>AD=AC[/tex]-противоречие

[alf2003]

Друг начин:
Гледаме чертежа по-горе. Нека диаметърът АР пресича бедрото ВС в точка Т.
От условието АР[tex]\bot[/tex] ВС следва, че Т е среда на ВС, значи АС=АВ.
Да си означим с Н точката, в която АР пресича СМ. Точката Н е ортоцентър на [tex]\Delta[/tex]ABC, който на всичкото отгоре е вписан в окръжността k.
Тогава МН=MN=x. От CM:MH = 3:1 следва, че CH:HM = 2:1 или CH=HN=2x.
Получава се, че Н е среда на хордата СN, а това означава, че диаметърът AP, минаващ през т. Н е перпендикулярен на CN.
Т.е. CH[tex]\bot[/tex]AP и CT[tex]\bot[/tex]AP, което собствено означава, че през точката С преминават два различни перпендикуляра към АP, което няма как да се случи, защото е невъзможно.
Окончателно: Такъв трапец не съществува!

[Pinetop Smith]

Тая задача като я решавах вкъщи(от сборника на Рангелова е), 3 пъти получавам противоречие и направо побеснях(не си намирах грешка в разсъжденията). Когато видях, че е уловка, побеснях още повече

[ганка симеонова]