Параметрично уравнение

[Nona]

Да се определят стойностите на параметъра [tex]a[/tex] така, че уравнението

[tex]\Large 4^{2\sqrt{2}.x-x^2}-2a.2^{2\sqrt{2}.x-x^2}+4=0[/tex]

да има точно 2 различни решения.

[Реклама]

[simon_kazakov]

[ганка симеонова]

нека [tex]y=2^{2\sqrt{2}x-x^2} [/tex]
очевидно е, че у>0. да разгледаме степенния показател, който е квадратна функция. т.к. старшият коефициент е<0, тази функция достига НГС във върха си, която НГС=2
тогава: [tex]y\in (0;4] [/tex]
преобразуваме положеното вече уравнение до[tex]\frac{y^2+4}{2y }=a [/tex]
[tex]g(y)= \frac{y^2+4}{2y } [/tex]=>[tex]g^'(y)=\frac{y^2-4}{2y^2 } [/tex]
първата производна се анулира в -2 и 2. в тези точки тя сменя знака си. разгледана в дефиниционния интервал тя има само един локален екстремум, който е минимум и се достига в у=2 => [tex]g_{min}(2)=2 [/tex] [tex]y\in (0;2], g(y)[/tex]намалява, а за [tex]y\in [2;4], g(y) [/tex] расте
да разгледаме [tex]h(y)=a [/tex]
двете функции ще имат само една обща точка при [tex]g(2)=h(2)=2 =>a=2 [/tex]
тогава, връщайки се в първоначалното полагане, показателното уравнение ще има точно две решения
[tex]g(4)=\frac{5}{2 } =>[/tex]ако [tex]a>\frac{5}{2 }[/tex]графиките ще се пресичат пак по веднъж. тогава окончателно получаваме:
[tex]a\in 2\cup (\frac{5}{2 };+\infty ) [/tex]