Няколко задачи от УАСГ

[wils0n]

Задача 1.
Даден е трапецът ABCD с основи AB и CD и бедра AD и BC, при което AB=3, CD=1.
Точката М е от бедрото BC и M различно от C. През точките D и M е прекарана права, която пресича диагонала AC в точката P и продължението на основата AB - в точката Q.
Нека [tex]\frac{AP}{PC }=\lambda [/tex]

а). Да се докаже,че [tex]\lambda \ge 3[/tex] и че[tex] BQ =\lambda -3 [/tex]
б). Нека [tex]k\lambda [/tex] е отношението на лицата на триъгълник PMC и триъгълник ABC[tex] (\frac{S_{PMC}}{S_{ABC}}=k\lambda [/tex]). Да се докаже, че [tex]k\lambda =\frac{1}{ (\lambda +1)(\lambda -2)}.[/tex]
в). Да се намери за кои стойности на [tex]\lambda [/tex] е изпълнено [tex]\frac{S_{PMC}}{S_{BQM} } =1/3[/tex]

Задача 2.
В трапеца ABCD с основи AB и CD и бедра AD и BC са изпълнение неравенствата AB>CD. AD>CD и BC>CD. Точките E и F са върху правата CD, като AE е ъглополовяща на [tex]\angle BAD[/tex],а ъглополовяща на [tex]\angle ABC[/tex]. Известно е,че EF=AB.

а). Докажете, че в трапеца може да се впише окръжност и че вписаните в триъгълниците ACB и ACD окръжности се допират.
б). Нека M, N и P са допирните точки на вписаната в трапеца ABCD окръжност съответно с AB, BC и AD. Нека [tex]\angle BAD[/tex]+[tex]\angle ABC[/tex]=[tex]\varphi[/tex] и радиусът на окръжността е r. Ако [tex]S_{PMN}[/tex] е лицето на триъгълника PMN, докажете,че
[tex]S_{PMN}[/tex][tex]\le[/tex][tex]r^{2}[/tex][tex]\frac{2sin([tex]\varphi[/tex]/2)+sin[tex]\varphi [/tex]}{2}[tex]\le [/tex] [tex]\frac{3[tex]\sqrt{3}[/tex][tex]r^{2}[/tex]}{4}

[Реклама]

[ганка симеонова]

[ObsCure]

а)Равенство за [tex]\lambda[/tex] се достига когато т.P съвпада с пресечната точка на диагоналите.

И така,▲AQP~▲CPD(очевидно!),следователно,ако

QB=x => [tex]\frac{AP}{PC}=\frac{x+3}{1}[/tex] => [tex]x+3=\lambda>3[/tex]

Оттук следва и че

BQ=x=[tex]\lambda-3[/tex]

[ObsCure]

б)Нека

[tex]<ACB=<PCM=\alpha[/tex]

Изразяваме лицата на ▲ABC и ▲PCM по следният начин

[tex]S(\Delta)ABC=\frac{AC.BCsin\alpha}{2}[/tex]

[tex]S(\Delta)PMC=\frac{PC.MCsin\alpha}{2}[/tex]

От тези равенства можем да заключим,че

[tex]\frac{S\(Delta)PMC}{S\(Delta)ABC}=\frac{PC.MC}{AC.BC}=k\lambda[/tex]

Остана ни само да изразим отношенията чрез [tex]\lambda[/tex].От ▲ABC намираме

[tex]\frac{PC}{AC}=\frac{PC}{(\lambda)PC+PC}=\frac{PC}{PC(\lambda+1)}=\frac{1}{\lambda +1}[/tex]

Нека

CM=y
BM=z

От подобието м/у ▲BMQ и ▲MCD можем да намерим

[tex]\frac{y}{z}=\frac{1}{\lambda-3} => z=y(\lambda-3)[/tex]

Тогава

[tex]\frac{CM}{BC}=\frac{y}{y+z}=\frac{y}{y\lambda+y-3y}=\frac{y}{y(\lambda-2)}=\frac{1}{\lambda-2}[/tex]

Окончателно

[tex]\frac{S(\Delta)PMC}{S(\Delta)ABC}=\frac{PC.MC}{AC.BC}=k\lambda=\frac{1}{(\lambda +1)(\lambda-2)}[/tex]

[ObsCure]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5542 ->Ето я и 2-рата задача,благодарение на Г-жа Симеонова!

[wils0n]

[tauru]

ok,но как ще стане в) на първа задача...plss кажете ,защото усещам че е нещо елементарно,а не мога да се досетя и няма да мога да спя спокойно

[naitsirk]

Намери отношението на лицата на BQM и ABC, като използваш полученото в предишната подточка можеш да намериш търсеното отношение [tex]\frac{S_{PMC}}{S_{BQM} } [/tex] и остава да решиш едно просто уравнение