Правилна триъгълна призма

[complex]

Дадена е правилна триъгълна призма ABCA₁B₁C₁ такава, че съществува правилен тетраедър, два кръстосани ръба на който лежат на правите АB₁ и СА₁. Намерете обема на призмата, ако височината й е h.

Бихте ли ми помогнали да разбера, на кои прави лежи този тетраедър? Нататък задачата ще се опитам сам да я реша.

[Реклама]

[ганка симеонова]

първо ще докажем, че два кръстосани ръба на правилна триъгълна пирамида(в частност на правилен тетраедър) са перпендикулярни. (черт.2)
Нека О е ортогоналната проекция на върха Т на пирамидата PKLT. O е център на основата=> и ортоцентър. PO-орт. проекция на РТ в/у основата. [tex]PO\bot KL=>PT\bot KL[/tex]- теоремата за трите перпендикуляра.
по нататък идеята в задачата е, че щом на кръстосаните ръбове [tex]CA_1 [/tex] и [tex]AB_1 [/tex] лежи правилен тетраедър, то [tex]CA_1\bot AB_1[/tex]
вече разглеждаме (черт1). в равнината [tex](ACC_1A_1) [/tex] построяваме [tex]AM//CA_1 =>\angle B_1AM=90^\circ , AB_1=AM=d =>\Delta B_1AM[/tex]-правоъгълен и равнобедрен. тогава по питагор=> [tex]B_1M=d\sqrt{2} [/tex]
разглеждаме правоъгълния триъгълник [tex]C_1B_1M=>\frac{C_1B_1}{MB_1 }=cotg60^\circ =>C_1B_1=a=\frac{d\sqrt{2} }{ \sqrt{3} } [/tex]
[tex]\Delta ABB_1: AB_1^2=AB^2+BB_1^2 =>d=h\sqrt{3} =>a=h\sqrt{2} [/tex]
мисля, че обемът вече е ясен