още едно лице на трапец

[ганка симеонова]

не знам дали е подходящ раздел, но за да продължим темата на евгени за лице на трапец, поствам една задача(НПМГ)

Даден е трапец ABCD с основи АВ и CD, за който[tex]\angle ACD=2\angle ABD[/tex].
Ако [tex]AC=CD=5[/tex] и [tex]AB=6[/tex], намерете лицето на трапеца.

[Реклама]

[ганка симеонова]

отг:22
нямаш никъде даден ъгъл алфа..

RUSI, недей да пускаш и после да триеш, защото така излиза, че последният писал е писал глупости

[Руси Колев]

[martosss]

Означаваме си [tex]\angle ABD=\alp ,\: \angle ACD=2\alp[/tex]
[tex]\angle ABD=\angle BDC=\alp[/tex] (кръстни за [tex](AB||CD)\cap BD[/tex])
По условие [tex]AC=CD\Right[/tex] ▲АСD - равнобедрен.
Нека си построим височината СН в ▲ACD([tex]H\in AD[/tex]) и [tex]CH\cap BD=P[/tex], тя става и ъглополовяща и от тук [tex]\angle ACH=\angle DCH=\alp[/tex]
сега в ▲[tex]DPC \angle PCD=\angle PDC=\alp\Right[/tex] ▲PCD - равнобедрен => [tex]P\in S_{DC},\: [/tex]но НС е симетрала на АD и [tex]P\in S_{AD}\Right S_{AD}\cap S_{CD}=P\Right[/tex] Р е център на оп. около ▲АСD окръжност и АР=РС=РD=R => ▲ACP - Равнобедрен и [tex]\angle PAC=\angle ACP=\alp[/tex].

Освен това [tex]\angle BPC=\angle PDC+\angle DCP=2\alp[/tex] като външен за ▲РCD, [tex]\angle CAB=\angle ACD=2\alp[/tex] като кръстни

Получихме [tex]\angle BAC=\angle BPC[/tex] => ВС се вижда под ъгъл [tex]2\alp[/tex] от точките А и Р => около АВСР може да се опише окръжност => [tex]\angle PAC=\angle PBC=[/tex][tex]\green \frac{\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{PC}}{2}[/tex][tex]=\alp=\angle BDC[/tex] => ▲ВСD е равнобедрен => CD=BC=5

От Косинусовата теорема за ▲АВС и ъгъл ВАС намираме [tex]cos2\alp=\frac{3}{5}\Right sin2\alp=\frac{4}{5}[/tex]

Нека АK е височина в триъгълник АСD(K е върху СD), от правоъгълният ▲АСK имаме [tex]sin2\alp=\frac{AK}{AC}\Right AK=sin2\alp *AC=\frac{4}{\cancel 5}\cancel *5=4\Right S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}*AK=\frac{5+6}{2}*4=22[/tex]

[r2d2]

Нека окръжността с център С, минаваща през А и Д прес. АВ в т. Т. Тогава ъгъл АТД - вписан = 1/2 ъгъл ДСА (централен). Излиза че Т≡В, т.е СВ=5.

[martosss]

Ей, верно бе, аз какво го суча