Действия, свързани с логаритми и с коренуване

[Spider Iovkov]

Зад. 1 Решете уравнението:

[tex]\sqrt[4]{2^{\sqrt{x}-1}}+\sqrt{2^{\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}}}=6[/tex].

Зад. 2. Решете системата:

[tex]\begin{tabular}{|l}log_{xy}(x-y)=1\\log_{xy}(x+y)=0\end{tabular}[/tex].

Зад. 3. Решете системата:

[tex]\begin{tabular}{|l}(x+y).2^{y-x}=\frac{1}{log_{\frac{1}{27}}\frac{1}{3}}\\(x+y)^{\frac{1}{x-y}}=2\sqrt{3}\end{tabular}[/tex].

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Няма ли желаещи да се позабавляват с тия задачи?

[Spider Iovkov]

[tex]\begin{tabular}{|l}log_{xy}(x-y)=1\\log_{xy}(x+y)=0\end{tabular}, (1)[/tex]
[tex]DS:\begin{tabular}{|l}xy>0\\xy\neq1\\x-y>0\\x+y>0\end{tabular},[/tex][tex]\begin{tabular}{|l}xy>0\\x\neq\frac{1}{y}\\x>y\\x>-y\end{tabular};[/tex]

[tex](1) \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}xy=x-y\\x+y=1\end{tabular},[/tex]

[tex]x=1-y \Rightarrow (1-y)y=1-y-y \Leftrightarrow y-y^2=1-2y \Leftrightarrow y^2-3y+1=0 \Leftrightarrow y_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, y_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow x_{1}=\frac{-1-sqrt{5}}{2}, x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2};[/tex]
[tex]\Rightarrow (x;y), (\frac{-1+sqrt{5}}{2}; \frac{3-sqrt{5}}{2})[/tex]

[martosss]

[garion]

откъде дойде [tex]2^{\frac{x}{y}}[/tex]???
получава се

[tex]\begin{tabular}{|l}(x+y).2^{y-x}=\frac{1}{log_{\frac{1}{27}}\frac{1}{3}}\\(x+y)^{\frac{1}{x-y}}=2\sqrt{3}\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}(x+y).2^{y-x}=3\\(x+y)=(2\sqrt{3})^{x-y}\end{tabular}[/tex]
След заместване от второто в първото уравнение получаваме:
[tex](2\sqrt{3})^{x-y}.2^{y-x}=3[/tex]
[tex]\sqrt{3}^{x-y}=3[/tex]
x-y=2
x=y+2
Заместваме във второто уравнение и получаваме
2y+2=12
y=5, x=7

[Spider Iovkov]

А другата задача?

[Руси Колев]

[Spider Iovkov]

Логаритмуваните числа в логаритмите трябва да са положителни:
[tex]\begin{tabular}{|l}x-y>0\\x+y>0\end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}x>y\\x>-y\end{tabular}[/tex].

[garion]

[Руси Колев]

[garion]

[Руси Колев]

[garion]

това е готиното дяволче, не е онуй ядосаното(или сърдитото - ненам кое е по-правилно)

[Руси Колев]

[Grands]

Интересно ми е как се решава и първото уравнение.

[ганка симеонова]

и на мен

[Spider Iovkov]

Решава се чрез субституцията [tex]t=\sqrt[4]{2^{sqrt{x}-1}}[/tex]. Дано този жоке подейства, въпреки че и аз си блъскам главата с тая задача, .

[martosss]

От достоверен източник(започва с Е...... завършва на mo ) научих че отговора е 25

[martosss]

[ганка симеонова]

става тривиална..
полагаме след преобразувание [tex] 2^{\frac{\sqrt{x}-1 }{ 4}=u [/tex].направо вече си е х=25...

[Руси Колев]

[martosss]

[Spider Iovkov]

Нека да означим: [tex]\sqrt{x}=u \Rightarrow x=u^2, x\ge0, u\ge0[/tex],
[tex]\Rightarrow \sqrt[4]{2^{u-1}}+\sqrt{2^{\frac{u^2-1}{u+1}}}=6 \Rightarrow 2^{\frac{u-1}{4}}+2^{\frac{u-1}{2}}=6 \Leftrightarrow (2^{\frac{u-1}{2}})^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{u-1}{2}}=6,[/tex]
[tex]2^{\frac{u-1}{2}}=t \Rightarrow \sqrt{t}+t=6 \Leftrightarrow \sqrt{t}=6-t \Rightarrow t^2-13t+36=0 \Rightarrow t_{1}=9, t_{2}=4;[/tex]

Първият корен не е валиден, защото посредством него намираме корен х, неудовлетворяващ уравнението. Тогава имаме само
[tex]2^{\frac{u-1}{2}}=2^2 \Leftrightarrow u-1=4[/tex]
[tex] \Leftrightarrow u=5 \Rightarrow x=25[/tex]

[martosss]