Показателна функция

[Spider Iovkov]

Зад. 1. Опростете:

[tex](\frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-\frac{1}{3}}-b^{-\frac{1}{3}}}):\frac{a^{-\frac{2}{3}}+b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}+b^{-\frac{2}{3}}}[/tex].

Зад. 2. Да се реши уравнението:

[tex]x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}=25[/tex].

Зад. 3. Докажете неравенството:

[tex]6^{\frac{1}{3}}+6^{-\frac{1}{3}}>2[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

2) преминаваме от корен мъм степен...
[tex]x.x^{\frac{1}{ 2}}.x^{\frac{1}{4 }}..=25 =>x^{1+\frac{1}{2 }+\frac{1}{4 }+..}=25 [/tex]

степенният показател е сума на безкрайно малка геометрична прогресия, защото частното 1/2 е по- малко по модул от 1. такава сума се смята по формулата:
[tex]S=\frac{a_1}{1-q }=\frac{1}{ 1-\frac{1}{2 } }=2 [/tex]=>
[tex]x^2=25=>x=5 [/tex]защото х е под корен втори и трябва да е неотрицателно..

[ганка симеонова]

по 1) представи всички степенни показатели със знаменател 3 и ще откриеш всички формули за съкратено умножение, скрити в израза..

[ObsCure]

1)Та,1-ва най-лесно ще я решиш ако представиш a и b като [tex]\sqrt[3]{a}[/tex] и [tex]\sqrt[3]{b}[/tex], а a ^-1/b^-1 като [tex]\frac{1}{a}[/tex].
Използвай и формулата за кубовете

a ³-b ³=...

3) Представяме числата като кубични корени

[tex]\sqrt[3]{6}+\frac{1}{\sqrt[3]{6}}[/tex]>2

Полагаме [tex]\sqrt[3]{6}[/tex]=t>0

Та

t+1/t>2

Умножаваме с t и получаваме квадратното

t²-2t+1>0 <=> (t-1)²>0 <=> ([tex]\sqrt[3]{6}[/tex]-1)²>0

което е винаги изпълнено.

[ганка симеонова]

3) използвай прословутото неравенсто, че ако [tex]x>0=>x+\frac{1}{ x}\ge 2 [/tex], като равенство се достига, само при х=1
в твоя случай: [tex]6^{\frac{1}{3 } }+\frac{1}{6^{\frac{1}{ 3} }}>2 [/tex]

[Grands]

Втора задача:
[tex]x.\sqrt{x.\sqrt{x.\sqrt{x...}}}=25;[/tex]
[tex]x^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=25;[/tex]
[tex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}[/tex] е безкрайно малка геометрична прогресия, следователно нейната сума е:
[tex]\frac{1}{1-\frac{1}{2}};[/tex]
[tex]x^{\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}=25;[/tex]
[tex]x^2=25;[/tex]
Отбелязваме, че x\ge 0
[tex]x=5[/tex].

Трета задача:
Полагаме [tex]6^{\frac{1}{3}}=a,a>0,a\ne 1;[/tex]
Следователно [tex](a-1)^2>0;[/tex]
[tex]a^2-2.a+1>0/:a,a>0;[/tex]
[tex]a-2+\frac{1}{a}>0;[/tex]
[tex]a+\frac{1}{a}>2;[/tex]
[tex]6^{\frac{1}{3}}+6^{-\frac{1}{3}}>2.[/tex]

[martosss]

на 2) зависи до къде продължава х

3)[tex] \sqrt[3]6+\frac{1}{\sqrt[3]6}>2 ?[/tex]

[tex]\sqrt[3]{6^2}-2\sqrt[3]6+1>0 ?[/tex]

[tex](\sqrt[3]6-1)^2>0?[/tex]

[tex] \sqrt[3]6\ne 1\Right [/tex] уравнението е изпълнено

За 1) ми трябва малко време O.o За сега получих [tex]\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]a-\sqrt[3]b}[/tex], но не съм го проверил още

[ганка симеонова]

марто, какво ти уравнение за 3) ?????

[martosss]

Е ми понеже [tex]\sqrt[3]6\ne 1[/tex], то точният квадрат е винаги положителен

[Grands]

И затова му викат неравенство

[martosss]

[martosss]

[tex]\underbrace {(\frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-\frac{1}{3}}-b^{-\frac{1}{3}}})}_{A}:\underbrace{\frac{a^{-\frac{2}{3}}+b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}+b^{-\frac{2}{3}}}}_{B}[/tex].

[tex]A={(\frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-\frac{1}{3}}-b^{-\frac{1}{3}}}) = {\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}-\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[3]a}-\frac{1}{\sqrt[3]b}} = \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}}{\frac{b-a}{ab}}-\frac{1}{\frac{\sqrt[3]b-\sqrt[3]a}{\sqrt[3]{ab}}} = \frac{\overbrace {\cancel {ab}}^{\sqrt[3]{a^2b^2}}}{\cancel {\sqrt[3]{ab}}(b-a)}-\underbrace{\frac{\sqrt[3]{ab}}{\left(\sqrt[3]b-\sqrt[3]a\right)}*\frac{\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a^2}}{\left(\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a^2}\right)}}_{b-a} =[/tex]
[tex] \frac{\sqrt[3]{ab}*(\cancel {\sqrt[3]{ab}}-\sqrt[3]{b^2}\cancel {-\sqrt[3]{ab}}-\sqrt[3]a^2)}{b-a}=\frac{\sqrt[3]{ab}*(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})}{a-b}[/tex]

[tex]B=\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}} = \frac{\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{\cancel {\sqrt[3]{a^2b^2}}}}{\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\cancel {\sqrt[3]{a^2b^2}}}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}[/tex]

[tex]A:B=A*\frac{1}{B}=\frac{\sqrt[3]{ab}*(\cancel {\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})}}{\underbrace{\cancel {a-b}}_{\sqrt[3]a-\sqrt[3]b}}*\frac{\cancel {\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}}{\cancel {\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}=\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]a-\sqrt[3]b}[/tex]