Неравенство с факториел

[zhivo_zad]

Да се докаже неравенството-

[Реклама]

[ганка симеонова]

ще ползвам една известна граница и пълна математическа индукция
[tex]lim_{n->+\infty }(\frac{n+1}{n })^n=e[/tex], като всички членове на тази редица са по- малки от е
[tex]n=1 =>1>\frac{1}{ e} [/tex], което очевидно е вярно. ще допуснем, че неравенството е изпълнено за произволно к, т.е.[tex]k!>(\frac{k}{e })^k [/tex] и ще докажем, че тогава е изпълнено и за следващото к+1
образуваме следната разлика:
[tex](k+1)!-\frac{(k+1)^{k+1}}{e^{k+1} }=k!(k+1)-\frac{(k+1)^{k+1}}{e^{K+1} }>\frac{k^k}{e^k }(k+1)-\frac{(k+1)^k}{e^ke }(k+1)= [/tex]

[tex]=\frac{k^k}{e^k }(k+1)[1-(\frac{k+1}{k })^k.\frac{1}{ e})>\frac{k^k}{e^k }(k+1)[1-e.\frac{1}{e }]=0 [/tex]

от тук следва, че неравенството е изпълнено за всяко естествено число