ЗМС 2006

[martosss]

Да се реши в естествени числа [tex]t,\: x,\: y\: z[/tex] уравнението
[tex]2^t=3^x5^y+7^z[/tex]

[Реклама]

[Пафнутий]

само някой да си е помислил, че [tex]t=3,x=0,y=0,z=1[/tex] са решения

[martosss]

намери ВСИЧКИ решения и докажи, че няма други

[Grands]

[Spider Iovkov]

При тези задачи не се ли използваше методът на делението без остатък, за да се докаже, че определени числа са корени на уравнението?

[Пафнутий]

[Spider Iovkov]

Ето какво в крайна сметка измислих. Нека първо докажем, че квадратът на нечетното число е нечетно число.
[tex](2k+1)^2=4k^2+4k+1=2k(2k+2)+1=2k(2k+1+1)+1[/tex]. Числото [tex]2k[/tex] е винаги четно, [tex]2k+1[/tex] тогава е нечетно. Числото [tex]2k+1+1[/tex] е четно. Произведението на две четни числа е четно число. Сумата от четно число и 1 дава слеващото число, тоест нечетно. Следователно квадратът на нечетното число е нечетно число.
Първоначалното уравнение е: [tex]2^t=3^x5^y+7^z[/tex]. Очевидно лявата му страна ще е винаги четно положително число. Вече доказахме, че произведението на нечетни числа е нечетно число. Тогава [tex]3^x5^y[/tex] е винаги нечетно, каквито и да са естествените числа [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]. Тогва трябва [tex]7^z[/tex] да е такова число, че събрано с [tex]3^x5^y[/tex], да е четно число и да е степен на двойката. Но [tex]7^z[/tex] никога не може да бъде четно число.
Нека сега да поставим условието [tex]t\ge1[/tex]. Да разделим двете страни на уравнението на 2. Остатъкът от делението на лявата страна ще е нула, тогава и на дясната трябва да е нула.

Ще спра дотук, тъй като има вероятност останалите разсъждения да са неправилни, . Мисля, че почти го реших и че това е методът, но не съм сигурен.

[Пафнутий]

Дясната страна винаги е четна, защото [tex]3\equiv 1 (mod 2) \rightarrow 3^x\equiv 1(mod 2)[/tex] , [tex]5\equiv 1(mod 2) \rightarrow 5^y\equiv 1(mod 2)[/tex] и [tex] 7\equiv 1(mod 2) \rightarrow 7^z\equiv 1(mod 2)[/tex] И като съберем това получаваме [tex]3^x5^y+7^z\equiv 0 (mod 2)[/tex] Затова логиката не ти върви

[martosss]

Хах, Емо, да не би да доказа, че като съберем 2 нечетни числа и се получава нечетно число , примерно 7+5=12 Да, ама 12 е четно батка, защото сборът на нечетни дава четно Решението е... неприятно... Се пак това са ЗМС, ще ви оставя да помислите още, виждам че има опити

[martosss]

Ето и отговорът, ще помоля някой, който го разбира този отговор, да ми го обясни, защото много малко неща захапвам :




10.3 Решение: От даденото уравнение получаваме [tex]2^t\equiv\: 1(mod\: 3)[/tex] и оттук [tex]2[/tex] дели [tex]t[/tex]. Също така получаваме [tex]2^t\equiv\: 2^z(mod\: 5)[/tex] или [tex]([/tex]очевидно [tex]t>z)[/tex] [tex]2^{t-z}\equiv 1(mod\: 5)[/tex] и оттук [tex]4[/tex] дели [tex]t-z[/tex], така че [tex]2[/tex] дели [tex]z[/tex]. По-нататък, имаме (очевидно [tex]t>4[/tex]) [tex]0\equiv 3^x(-3)^y+(-1)^z(mod\: 8 )[/tex] или [tex]3^{x+y}\equiv (-1)^{y+1}(mod\: 8 )[/tex]. Ако [tex]2[/tex] дели [tex]y[/tex], то [tex]3^{x+y}\equiv -1(mod\: 8 )[/tex], което е невъзможно. Значи [tex]2[/tex] не дели [tex]y[/tex] и [tex]3^{x+y}\equiv 1(mod\: 8 )[/tex], така че [tex]2[/tex] дели [tex]x+y[/tex] и оттук [tex]2[/tex] не дели [tex]x[/tex]. Да положим [tex]t=2m(m\ge 3),\: z=2n(n\ge 1) [/tex] и да запишем уравнението във вида

[tex](2^m-7^n)(2^m+7^n)=3^x5^y[/tex].

Лесно се вижда, че[tex](2^m-7^n,2^m+7^n)\: =\: 1[/tex]. Следователно имаме следните три случая:

[tex]1)\: 2^m-7^n=3^x,\; 2^m+7^n=5^y;[/tex]

[tex]2)\: 2^m-7^n=5^y,\; 2^m+7^n=3^x;[/tex]

[tex]3)\: 2^m-7^n=1,\; 2^m+7^n=3^x5^y[/tex].

В случаите [tex]1)[/tex] и [tex]2)[/tex] имаме [tex]2^m\mp 7^n=3^x[/tex]. Оттук ( предвид [tex]m\ge 3[/tex] и [tex]2[/tex] не дели [tex]x[/tex]) следва [tex]\mp (-1)^n\equiv 3(mod\: 8 )[/tex], т.е. [tex]3\equiv \pm 1(mod\: 8 )[/tex], което е невъзможно.

В случай [tex]3)[/tex] от [tex]2^m-7^n=1[/tex] следва [tex]2^m\equiv 1(mod\: 7)[/tex] и оттук [tex]3[/tex] дели [tex]m[/tex]. Нека [tex]m=3k(k\ge 1)[/tex].
Тогава [tex](2^k-1)(2^{2k}+2^k+1)=7^n[/tex]. Лесно се вижда, че [tex](2^k-1,2^{2k}+2^k+1) =1[/tex] или [tex]3[/tex].
Следователно [tex]2^k-1=1,\: 2^{2k}+2^k+1=7^n[/tex]. Оттук последователно получаваме [tex]k=1,\: n=1,\: m=3,\: t=6,\: z=2[/tex] и (от [tex]2^m+7^n=3^x5^y[/tex]) [tex]x=1,\: y=1[/tex].

Окончателно, единственото решение е [tex]t=6,\: x=1,\: y=1,\: z=2[/tex].

[Пафнутий]

Ето и обяснението:
[tex]2^t\equiv 1(mod3)[/tex] следва от това, че [tex]3^x5^y\equiv 0(mod 3)[/tex] и от [tex]7\equiv 1(mod 3) \Rightarrow 7^z\equiv 1(mod3) ,z\ge 1[/tex] Понеже [tex]2^t\equiv 1(mod3)[/tex] следва, че t e четно, защото [tex]2\equiv -1(mod 3) \Rightarrow 2^{2k}\equiv 1(mod 3)[/tex] [tex]2^t\equiv 2^z (mod 5)[/tex] идва от [tex]7^z\equiv 2^t (mod5)[/tex] и [tex]7\equiv 2(mod5)[/tex]. [tex]2^t\equiv 2^z (mod 5) \Rightarrow \frac{2^t}{2^z}\equiv 1(mod 5) \Rightarrow 2^{t-z}\equiv1(mod5) [/tex] и от малката теорема на Ферма имаме [tex]t-z\equiv0(mod4)[/tex] и понеже вече знаем, че [tex]t[/tex] e четно, то и [tex]z[/tex] e четно и оттам [tex]t\ge k \rightarrow t\ge4\Rightarrow2^t\equiv0(mod8)[/tex]. Понеже [tex]5\equiv-3(mod8)\rightarrow5^y\equiv(-3)^y(mod8)[/tex] и [tex]7\equiv -1(mod8)\rightarrow 7^z\equiv(-1)^z(mod8)[/tex], тогава [tex]0\equiv 3^x(-3)^y+(-1)^z(mod8)\Rightarrow3^x(-3)^y\equiv-1(mod8)[/tex] и оттам [tex]3^{x+y}\equiv (-1)^{y+1}(mod8)[/tex]. Ако y е четно, то [tex]3^{x+y}\equiv -1(mod8)[/tex]- невъзможно И тогава следва [tex]x+y\equiv0(mod2) [/tex] и оттам x също е нечетно Ако [tex]t=2m(m\ge3)[/tex] и [tex]z=2n(n\ge 1)[/tex]
Тогава уравнението добива вида:
[tex](2^m-7^n)(2^m+7n)=3^x5^y[/tex] и лесно се вижда, че [tex]((2^m-7^n),(2^m+7n))=1[/tex], т.е са взаимно прости, защото и 2 и 7 са прости
Мисля, че вече при случаите нямаш проблеми Уловката е, че щом [tex]m\ge3[/tex] , то [tex]2^m\equiv0(mod8)[/tex]

[martosss]

[martosss]

Пак много неща не са ми ясни Примерно това с осмицата... и малката теорема на Ферма... и защо тия модули ги въртите така.. от 5 стана след теоремата на ферма 4 ?

[Пафнутий]