Регистрирайте сеРегистрирайте се

ЗМС 2006


 
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Jun 06, 2008 7:25 am    Заглавие: ЗМС 2006

Да се реши в естествени числа [tex]t,\: x,\: y\: z[/tex] уравнението
[tex]2^t=3^x5^y+7^z[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jun 06, 2008 8:13 am    Заглавие:

само някой да си е помислил, че [tex]t=3,x=0,y=0,z=1[/tex] са решения Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Jun 06, 2008 8:56 am    Заглавие:

намери ВСИЧКИ решения и докажи, че няма други Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Fri Jun 06, 2008 6:50 pm    Заглавие:

stanislav atanasov написа:
само някой да си е помислил, че [tex]t=3,x=0,y=0,z=1[/tex] са решения Laughing


Бих си помислил, ако не трябваше да са естествени.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Jun 06, 2008 6:56 pm    Заглавие:

При тези задачи не се ли използваше методът на делението без остатък, за да се докаже, че определени числа са корени на уравнението? Rolling Eyes

Последната промяна е направена от Spider Iovkov на Fri Jun 06, 2008 7:36 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jun 06, 2008 7:27 pm    Заглавие:

Емо написа:
При тези задачи не се ли използваше методът на делението без остатък, за да се докаже, че определени числа са корени на уравнението? Rolling Eyes
П. П. Други решения са [tex]x=y=z=0[/tex], [tex]t=1[/tex]. Very Happy

Неслучайно съм загатнал нещо в първия си пост Wink Като гледам и Grands се е усетил-търсят се естествени числа Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Jun 06, 2008 7:52 pm    Заглавие:

Ето какво в крайна сметка измислих. Нека първо докажем, че квадратът на нечетното число е нечетно число.
[tex](2k+1)^2=4k^2+4k+1=2k(2k+2)+1=2k(2k+1+1)+1[/tex]. Числото [tex]2k[/tex] е винаги четно, [tex]2k+1[/tex] тогава е нечетно. Числото [tex]2k+1+1[/tex] е четно. Произведението на две четни числа е четно число. Сумата от четно число и 1 дава слеващото число, тоест нечетно. Следователно квадратът на нечетното число е нечетно число.
Първоначалното уравнение е: [tex]2^t=3^x5^y+7^z[/tex]. Очевидно лявата му страна ще е винаги четно положително число. Вече доказахме, че произведението на нечетни числа е нечетно число. Тогава [tex]3^x5^y[/tex] е винаги нечетно, каквито и да са естествените числа [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]. Тогва трябва [tex]7^z[/tex] да е такова число, че събрано с [tex]3^x5^y[/tex], да е четно число и да е степен на двойката. Но [tex]7^z[/tex] никога не може да бъде четно число.
Нека сега да поставим условието [tex]t\ge1[/tex]. Да разделим двете страни на уравнението на 2. Остатъкът от делението на лявата страна ще е нула, тогава и на дясната трябва да е нула.

Ще спра дотук, тъй като има вероятност останалите разсъждения да са неправилни, Rolling Eyes . Мисля, че почти го реших и че това е методът, но не съм сигурен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jun 06, 2008 8:01 pm    Заглавие:

Дясната страна винаги е четна, защото [tex]3\equiv 1 (mod 2) \rightarrow 3^x\equiv 1(mod 2)[/tex] , [tex]5\equiv 1(mod 2) \rightarrow 5^y\equiv 1(mod 2)[/tex] и [tex] 7\equiv 1(mod 2) \rightarrow 7^z\equiv 1(mod 2)[/tex] И като съберем това получаваме [tex]3^x5^y+7^z\equiv 0 (mod 2)[/tex] Затова логиката не ти върви Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Jun 06, 2008 8:13 pm    Заглавие:

Хах, Емо, да не би да доказа, че като съберем 2 нечетни числа и се получава нечетно число , примерно 7+5=12 Very HappyVery HappyVery Happy Да, ама 12 е четно батка, защото сборът на нечетни дава четно Wink Решението е... неприятно... Very Happy Се пак това са ЗМС, ще ви оставя да помислите още, виждам че има опити Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Jun 07, 2008 9:06 am    Заглавие:

Ето и отговорът, ще помоля някой, който го разбира този отговор, да ми го обясни, защото много малко неща захапвам Shocked :




10.3 Решение: От даденото уравнение получаваме [tex]2^t\equiv\: 1(mod\: 3)[/tex] и оттук [tex]2[/tex] дели [tex]t[/tex]. Също така получаваме [tex]2^t\equiv\: 2^z(mod\: 5)[/tex] или [tex]([/tex]очевидно [tex]t>z)[/tex] [tex]2^{t-z}\equiv 1(mod\: 5)[/tex] и оттук [tex]4[/tex] дели [tex]t-z[/tex], така че [tex]2[/tex] дели [tex]z[/tex]. По-нататък, имаме (очевидно [tex]t>4[/tex]) [tex]0\equiv 3^x(-3)^y+(-1)^z(mod\: 8 )[/tex] или [tex]3^{x+y}\equiv (-1)^{y+1}(mod\: 8 )[/tex]. Ако [tex]2[/tex] дели [tex]y[/tex], то [tex]3^{x+y}\equiv -1(mod\: 8 )[/tex], което е невъзможно. Значи [tex]2[/tex] не дели [tex]y[/tex] и [tex]3^{x+y}\equiv 1(mod\: 8 )[/tex], така че [tex]2[/tex] дели [tex]x+y[/tex] и оттук [tex]2[/tex] не дели [tex]x[/tex]. Да положим [tex]t=2m(m\ge 3),\: z=2n(n\ge 1) [/tex] и да запишем уравнението във вида

[tex](2^m-7^n)(2^m+7^n)=3^x5^y[/tex].

Лесно се вижда, че[tex](2^m-7^n,2^m+7^n)\: =\: 1[/tex]. Следователно имаме следните три случая:

[tex]1)\: 2^m-7^n=3^x,\; 2^m+7^n=5^y;[/tex]

[tex]2)\: 2^m-7^n=5^y,\; 2^m+7^n=3^x;[/tex]

[tex]3)\: 2^m-7^n=1,\; 2^m+7^n=3^x5^y[/tex].

В случаите [tex]1)[/tex] и [tex]2)[/tex] имаме [tex]2^m\mp 7^n=3^x[/tex]. Оттук ( предвид [tex]m\ge 3[/tex] и [tex]2[/tex] не дели [tex]x[/tex]) следва [tex]\mp (-1)^n\equiv 3(mod\: 8 )[/tex], т.е. [tex]3\equiv \pm 1(mod\: 8 )[/tex], което е невъзможно.

В случай [tex]3)[/tex] от [tex]2^m-7^n=1[/tex] следва [tex]2^m\equiv 1(mod\: 7)[/tex] и оттук [tex]3[/tex] дели [tex]m[/tex]. Нека [tex]m=3k(k\ge 1)[/tex].
Тогава [tex](2^k-1)(2^{2k}+2^k+1)=7^n[/tex]. Лесно се вижда, че [tex](2^k-1,2^{2k}+2^k+1) =1[/tex] или [tex]3[/tex].
Следователно [tex]2^k-1=1,\: 2^{2k}+2^k+1=7^n[/tex]. Оттук последователно получаваме [tex]k=1,\: n=1,\: m=3,\: t=6,\: z=2[/tex] и (от [tex]2^m+7^n=3^x5^y[/tex]) [tex]x=1,\: y=1[/tex].

Окончателно, единственото решение е [tex]t=6,\: x=1,\: y=1,\: z=2[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Jun 07, 2008 10:15 am    Заглавие:

Ето и обяснението:
[tex]2^t\equiv 1(mod3)[/tex] следва от това, че [tex]3^x5^y\equiv 0(mod 3)[/tex] и от [tex]7\equiv 1(mod 3) \Rightarrow 7^z\equiv 1(mod3) ,z\ge 1[/tex] Wink Понеже [tex]2^t\equiv 1(mod3)[/tex] следва, че t e четно, защото [tex]2\equiv -1(mod 3) \Rightarrow 2^{2k}\equiv 1(mod 3)[/tex] Wink [tex]2^t\equiv 2^z (mod 5)[/tex] идва от [tex]7^z\equiv 2^t (mod5)[/tex] и [tex]7\equiv 2(mod5)[/tex]. [tex]2^t\equiv 2^z (mod 5) \Rightarrow \frac{2^t}{2^z}\equiv 1(mod 5) \Rightarrow 2^{t-z}\equiv1(mod5) [/tex] и от малката теорема на Ферма имаме [tex]t-z\equiv0(mod4)[/tex] и понеже вече знаем, че [tex]t[/tex] e четно, то и [tex]z[/tex] e четно Wink и оттам [tex]t\ge k \rightarrow t\ge4\Rightarrow2^t\equiv0(mod8)[/tex]. Понеже [tex]5\equiv-3(mod8)\rightarrow5^y\equiv(-3)^y(mod8)[/tex] и [tex]7\equiv -1(mod8)\rightarrow 7^z\equiv(-1)^z(mod8)[/tex], тогава [tex]0\equiv 3^x(-3)^y+(-1)^z(mod8)\Rightarrow3^x(-3)^y\equiv-1(mod8)[/tex] и оттам [tex]3^{x+y}\equiv (-1)^{y+1}(mod8)[/tex]. Ако y е четно, то [tex]3^{x+y}\equiv -1(mod8)[/tex]- невъзможно Wink И тогава следва [tex]x+y\equiv0(mod2) [/tex] и оттам x също е нечетно Wink Ако [tex]t=2m(m\ge3)[/tex] и [tex]z=2n(n\ge 1)[/tex]
Тогава уравнението добива вида:
[tex](2^m-7^n)(2^m+7n)=3^x5^y[/tex] и лесно се вижда, че [tex]((2^m-7^n),(2^m+7n))=1[/tex], т.е са взаимно прости, защото и 2 и 7 са прости Wink
Мисля, че вече при случаите нямаш проблеми Wink Уловката е, че щом [tex]m\ge3[/tex] , то [tex]2^m\equiv0(mod8)[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Jun 07, 2008 11:00 am    Заглавие:

stanislav atanasov написа:
Ето и обяснението:
[tex]7^z\equiv 2^t (mod5)[/tex]


Трети ред, това откъде дойде, че [tex]7^z\equiv 2^t (mod5)[/tex] ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Jun 07, 2008 11:05 am    Заглавие:

Пак много неща не са ми ясни Shocked Примерно това с осмицата... и малката теорема на Ферма... и защо тия модули ги въртите така.. от 5 стана след теоремата на ферма 4 ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Jun 07, 2008 1:59 pm    Заглавие:

martosss написа:
stanislav atanasov написа:
Ето и обяснението:
[tex]7^z\equiv 2^t (mod5)[/tex]


Трети ред, това откъде дойде, че [tex]7^z\equiv 2^t (mod5)[/tex] ?
Защото [tex]3^x5^y\equiv0(mod5) [/tex] и тогава остава [tex]7^z\equiv 2^t (mod5)[/tex], за да е вярно равенството Wink
martosss написа:
Пак много неща не са ми ясни Shocked Примерно това с осмицата... и малката теорема на Ферма... и защо тия модули ги въртите така.. от 5 стана след теоремата на ферма 4 ?

Малката теорема на ферма гласи [tex]a^p\equiv a(mod p) [/tex], където [tex]p[/tex] e просто, пък [tex]a[/tex] естествено Wink В случай, че (a,p)=1, разделяме 2-те страни на [tex]a[/tex] и получаваме [tex]a^{p-1}\equiv1(mod5[/tex]) Wink В този случай, имаме (2,5)=1 и 5 е просто Wink и в случая 4 е показател на 2 по (mod5) и оттам всяко естествено n, за което [tex]2^n\equiv1(mod5)[/tex], то 4 дели [tex]n[/tex] Cool
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.