a + b + c

[kiro88]

Ako moje iskam da mi publikuvate reshenieto na slednita zada4a.Uslovieto e slednoto.Dokajete , 4e ako a+b+c=0 to:

a2 + b2 + c2 = -2(ab+bc+ca)

(2-kata v lqvata strana na uravnenieto e stepenen pokazatel toest a,b i c ot lqvo sa na kvadrat)

[Реклама]

[Tony_89]

a + b + c = 0 => (a + b + c) ² = 0, но:
(a + b + c) ² = a² + b ² + c² + 2*a*b + 2*a*c + 2* b*c =>
=> a² + b² + c² = -2*(a*b + a*c + b*c)

[kiro88]

Благодаря много! Ако може да те помоля да ми дадеш решението и на тази задача.

a2*b2+b2*c2+c2*a2=(a*b+b*c+c*a)2

(Тук двойките навсякаде са степенен показател.Съжалявам , че не ги пиша както трябва но още незная как.)

[Tony_89]

Ако си имал предвид същото условие: a + b + c =0 :
(a*b + a*c + b*c) ² =
= (a*b)² + (a*c)² + (b*c)² + 2*a²*b*c + 2*a*b²*c + 2*a*b*c² =
= a²*b² + a²*c² + b²*c² + 2*a*b*c*(a + b + c) =
= a²*b² + a²*c² + b²*c²

[kiro88]

Благодаря ти много и помогна

[kiro88]

[Tony_89]

Вече доказахме, че:
a² + b² + c² = -2*(a*b + a*c + b*c) =>

=> (a² + b² + c²)² = (-2*(a*b + a*c + b*c)) ²

а^4 + b^4 + c^4 + 2*a²*b² + 2*a²*c² + 2*b²*c² =
= 4*(a*b + a*c + b*c)²

4*(a*b + a*c + b*c)² = 4*(a²*b² + a²*c² + b²*c²) (също вече доказано)

а^4 + b^4 + c^4 + 2*a²*b² + 2*a²*c² + 2*b²*c² =
= 4*a²*b² + 4*a²*c² + 4*b²*c²

а^4 + b^4 + c^4 = 2*a²*b² + 2*a²*c² + 2*b²*c² =
= 2*(a²*b² + a²*c² + b²*c²) =>

=> а^4 + b^4 + c^4 = 4*(a*b + a*c + b*c)²/2 =

= 2*(a*b + a*c + b*c)²

[kiro88]

Благодаря !

[Titu_Andrescu]

Я да видим как ще се справите с тая
Ако a+b+c=0, то a^3+b^3+c^3=3abc

[Tony_89]

a³ + b³ + c³ - 3*a*b*c = (a + b + c)*((a – b)² + (b – c)² + (c – a)²)/2
Който иска да си я докаже тази формула

[M_Velinova]

Nadqvam se vyprosite da sa ot sedmoklasnik?...

[uktc]

[M_Velinova]

Ne iskah da prozvu4i grubo, ama maj taka stana!

Prosto iskah da kaja, 4e trqbva da se u4at urocite ot u4ili]eto.

Vel

[uktc]

[M_Velinova]

Malko e grubi4ko! Ne se opravdavam, kakvoto e trqbvalo sym go kazal.

Vel

[Titu_Andrescu]

Не е важно, че въпросите са не от седмокласник а от дванадесетокласник. Важното е че са за седмокласник.
Tony_89, браво! Това е и мойто решение.

А можеш ли да решиш тази задача, пак по същата тема:
Намерете a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b), ако a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=1.
Успех!

[Tony_89]

Най-вероятно може да се изведе някоя елегантна формула в случая, но аз не се сетих:
От a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=1 се получава a³ + b³ + c³ + a*b*c = 0
a²/(b+c)+b²/(c+a)+c²/(a+b) =
= (a + b + c)*(a³ + b³ + c³ + a*b*c)/(a + b)*(a + c)*(b + c) = 0

[Tony_89]

Тук малка корекция:
(a + b + c)*(a³ + b³ + c³ + a*b*c)/((a + b)*(a + c)*(b + c))

[kiro88]

Не се обиждам.Нека говори каквото си пожелае.Всеки човек си има, както силни така и слаби страни, и явно математиката не си причислява кам силните ми страни

[M_Velinova]

Здравей Kiro88!

Не става и дума за обиждане, а за подсещане. Просто, ако искаш да успееш при кандидатстване с математика или да се справиш с неща свързани с нея, вземи учебник по математика за 7 клас, научи формулите за съкратено умножение и реши задачите, предложени в този учебник (издателството няма значение).

Съвсем приятелски ти заявявам, че без техниката за преобразуване на алгебрични изрази все някой ще ти решава задачите и няма да разбереш защо го прави точно така.

Е не е самм това, но оттам се започва.

Vel

[Lubo]

Здравейте,

Лично аз предпочитам геометричните задачи или алгебрични задачи, които могат да се решат по геометричен начин. За тази задача не можах да намеря геометричен еквивалент. Това не означава, че няма такъв - аз не можах да го намеря. За това ще предложа един вариант на алгебрично решение.

Тази задача е не само интересна, но и важна!

Задачи от този вид имат за отговор число, а не друг алгебричен израз включващ същите променливи.

В условиоето на задачата се казва да се НАМЕРИ на колко е равен определен израз, а не да се опрости.

Сега моят вариант за решение



Любо

[Lubo]

Ей, Tony

Извинявай.
Не прочетох решението ти.
Само 'от самолетен поглед' ми заприлича, че крайният ти отговор е алгебричен израз а не число.
Сега видях, че всъщност твоят краен отговор е 0.

Любо

[Tony_89]

Въпреки това си ме затапи, Lubo, с твоето решение

[Titu_Andrescu]

Да се докаже, че ако a+b+c=0, то 2(a^7+b^7+c^7)-7abc(a^4+b^4+c^4)=0.

Ха, сега де?

[kiro88]