Примерна 10-та задача за СУ

[Nona]

Графиката на [tex]f(x)=x^2+px+q, \ \ q\ne 0[/tex] пресича Ох в две точки - А и В, а Оу - в точка С. Докажете, че А, В, С и [tex]P(0,1)[/tex] лежат на една окръжност.

[Реклама]

[ганка симеонова]

според условието ти, [tex]P\equiv C[/tex], а три точки винаги определят единствена окръжност( когато не са на една права)..

[Nona]

Благодаря! Оправих го

[ганка симеонова]

, значи да помислим..

[Zlatinster]

Поне ще я разпишете ли че ми е интересно как с решава?

[martosss]

Тоест [tex]P[/tex] е някакв точка с координати (0,1), която ВИНАГИ лежи на окръжност с другите 3 O.o

[Nona]

[ганка симеонова]

на чeртежа съм означила дължините на всички отсечки.
[tex]\Delta AOP=>sin\alpha =\frac{|x_1|}{\sqrt{x_1^2+1} } [/tex]
[tex]\Delta COB=>sin\beta =\frac{|q|}{\sqrt{x_2^2+q^2} } [/tex]
[tex]sin^2\alpha -sin^2\beta =\frac{x_1^2}{x_1^2+1 }-\frac{q^2}{x_2^2+q^2 } =\frac{x_1^2x_2^2+x_1^2q^2-x_1^2q^2-q^2}{(x_1^2+1)(x_2^2+q^2) }=0 [/tex](от теоремите на Виет[tex]=>x_1x_2=q) [/tex]

=>[tex]sin\alpha =sin\beta =>\alpha =\beta [/tex]=>отсечката АС се вижда от т.Р и т.В под един и същи ъгъл=>АСВР- вписан четириъгълник.
доказателството не зависи от начина на разположение на корените спрямо ординатата.

[Nona]

Достатъчно условие четириъгълникът ABCP да е вписан в окръжност е [tex]OA.OB=OC.OP\Leftrightarrow |x_1|.|x_2|=|q|.1,[/tex] което е изпълнено от формулите на Виет.