Комплексно число на степен Комплексно число?

[nasko84]

Трябва да правя курсов проект с клас комплексни числа и реших да включа и степен, обаче не знам дали правилно съм си извел нещата, защото ми изглеждат много странни.

z^z1=(r.Exp(i*Fi))^z1=(r^z1)*Exp(i*Fi*z1)
Y=i*Fi*z1
r^z1=(r^Re(z1))*r^(i*Im(z1))
ако знака на Im(z1) e znak
това в червеното равно ли е на r^(znak*sqrt(-1*sqr(Im(z1))))=r^(znak*(-1*sqr(Im(z1)))/2)

или получава ми се че

z^z1=(r^Re(z1))* r^(znak*sqrt(-1*sqr(Im(z1))))=r^(znak*(-1*sqr(Im(z1)))/2)*Exp(Re(Y))*(cos(Im(Y))+i*sin(Im(Y)))

моля ви отговорете ми

[Реклама]

[Infernum]

Смесваш преобразуванията, приятел. Все едно работиш ту с реални, ту с комплексни числа. Така няма да стане.
Виж сега.
Общата степенна функция на комплексна променлива
f(z) = z^a, където а Е С, се дефинира така:

Ако а = x + iy и z = re^it, -п ≤ t < п, то

f(z) = z^a = е^aLn(z) = е^{(x + iy)Ln(z)} =
= е^{(x + iy){ln|z| + i[arg(z) + 2kп]}} =
= е^{(x + iy)[ln(r) + i(t + 2kп)]} =
= е^{xln(r) - y(t + 2kп) + i[yln(r) + x(t + 2kп)]} =
е^{xln(r) - y(t + 2kп)}(cos(yln(r) + x(t + 2kп)) + i*sin(yln(r) + x(t + 2kп))
k Е Z
Отчита се безкрайнозначността на логаритмичната функция на комплексна променлива.

[nasko84]

10х приятел , значи това с

[Infernum]

НЕЕЕЕЕ!
Първо да поясня:
с Ln се означава логаритъм от комплексно число,
с ln се означава логаритъм от реално число.
В комплексното число z=re^it, r и t са ти реални числа.
Да отчетеш безкрайнозначността на логаритъма, значи да имаш предвид че:

Ln(z) = ln|z| + iArg(z),

Arg(z) = arg(z) + 2kп

Където arg(z) ти е главната стойност на аргумента (може да се избере -п ≤ arg(z) < п или произволен интервал с дължина 2п).
Така че ако z = re^it ще имаш че:

|z|=r, a arg(z) = t и -п ≤ t < п

Тогава

Arg(z) = arg(z) + 2kп = t + 2kп

и оттук

Ln(z) = ln|z| + iArg(z) = ln(r) + i(t + 2kп)

т.е. появява ти се числото k E Z, което е произволно цяло число.
С други думи, логаритъма на някакво комплексно число z, има безкрайно много значения.
Ако нещо не си разбрал питай пак да ти обясня.
Поздрави!

[nasko84]

oki qsno ve4e