Трапец и вписани окръжности

[Spider Iovkov]

В равнобедрен трапец [tex]ABCD[/tex] [tex](AB||CD, AB>CD)[/tex] е вписана окръжност, която се допира до страните [tex]AB, BC, CD[/tex] и [tex]DA[/tex] съответно в точките [tex]K, L, M, N[/tex]. Отношението на лицето на четириъгълника [tex]KLMN[/tex] и лицето на трапеца е [tex]\frac{3}{8}[/tex]:
а) да се намери мярката на [tex]\angle BAD[/tex];
б) нека [tex]O_{1}[/tex] и [tex]O_{2}[/tex] са центровете на окръжностите, вписани съответно в триъгълниците [tex]ABC[/tex] и [tex]ACD[/tex]; да се намери дължината на отсечката [tex]O_{1}O_{2}[/tex], ако [tex]BC=2[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

NL- отсечката, свързваща допирните точки. при равнобедрен трапец, тя има дължина:
[tex]NL=\frac{2ab}{a+b } [/tex][tex] h=\sqrt{ab} ;AD=\frac{a+b}{2 } [/tex]
[tex]S_{NKLM}=\frac{1}{2 }NL.MK=\frac{ab}{a+b }\sqrt{ab} [/tex]
[tex]S_{ABCD}=\frac{a+b}{ 2}\sqrt{ab} [/tex]=>[tex]2\frac{ab}{(a+b)^2 }=\frac{3}{ 8}=> \frac{ab}{(a+b)^2 }=\frac{3}{ 16}=>\frac{\sqrt{ab} }{a+b }=\frac{\sqrt{3} }{4 } [/tex]
от прав. триъгълник[tex]AHD=>sin\alpha =\frac{DH}{AD }=\frac{2\sqrt{ab} }{a+b }=\frac{\sqrt{3} }{ 2}=>\alpha =60^\circ [/tex]

след малко ще пусна с отделен чертеж б)

[nikolavp]

От къде разбрахме, че [tex]NL=\frac{2ab}{a+b}[/tex]

[ганка симеонова]

сентенцията на б) е една основна задача, която е хубаво, да се знае.
четириъгълник е описан около окръжност<=>окръжностите вписани в двата триъгълника, получени от единия диагонал се допират в точка, от този диагонал( т.е. са външно допиращи се). ще го докажа само в едната посока, в която ни трябва, за случая.
нека Т1 е допирната точка на вписаната в АCD окръжност. Тогава допирателната отсечка [tex]AT_1=\frac{AD+AC-DC}{2 } [/tex]
нека Т2 е допирната точка на вписаната в АBC окръжност. Тогава допирателната отсечка[tex]AT_2=\frac{AB+AC-BC}{2 }[/tex]
[tex]AT_1-AT_2=\frac{1}{2 }[AD+CB-(AB+DC)]=0 =>T_1\equiv T_2\equiv T [/tex]
=>[tex]O_1O_2 [/tex]е равна на сбора на двата радиуса, които се намират лесно. от условието в б) и доказаното в а) , следва че АВ=3; CD=1
тогава двата труиъгълника имат по две известни страни и ъгъл м/у тях. намираме лицата им, полупериметрите и всичко е ок.

[ганка симеонова]

по повод въпроса на николавп, означаваме [tex]NL\cap DH=P, NL=x; NLCD [/tex]-равнобедрен трапец=>[tex]NP=\frac{x-b}{ 2}; AH=\frac{a-b}{2 } ; ND=\frac{b}{2 };AD=\frac{a+b}{ 2} [/tex]
[tex]\Delta NPD\approx \Delta AHD =>\frac{NP}{AH }=\frac{ND}{ AD} ..... [/tex]