Регистрирайте сеРегистрирайте се

Зад.2 УАСГ,2006г.


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ObsCure
Фен на форума


Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
Репутация: 104.4
гласове: 28

МнениеПуснато на: Tue Jun 03, 2008 6:11 pm    Заглавие: Зад.2 УАСГ,2006г.

В трапеца ABCD с основи AB и CD и бедра AD и BC са изпълнени неравенствата AB>CD,AD>CD и BC>CD.Точките E е F са в/у правата CD,като AE е ъглополовяща на <BAD,а BF е ъглополовяща на <ABC.Известно е,че EF=AB.

а)Докажете,че в трапеца може да се впише окръжност и че вписаните в ▲ACB и ▲ACD окръжности се допират.

б)Нека M,N и P са допирните точки на вписаната в трапеца окръжност с AB,BC и AD.Нека

<BAD+<ABC=[tex]\varphi[/tex]

и радиусът на окръжността е r.Ако S▲PMN е лицето на ▲MNP докажете,че

S▲PMN≤[tex]r^{2}(\frac{2sin\frac{\varphi}/{2}+sin\varphi}{2})[/tex] ≤[tex]\frac{3\sqrt{3}r^{2}}{4}[/tex]

в)Нека AD=BC,АB=a и CD=b.Намерете PN и докажете,че [tex]\frac{AC}{PN}>\sqrt{2}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Jun 03, 2008 8:08 pm    Заглавие:

така, ще направя за сега първите условия..
[tex] \Delta ADM -[/tex]- равмобедрен, защото:
[tex]1)\angle DAM=\angle MAB [/tex]-АМ- ъглополовяща
[tex]2)\angle BAM=\angle AMD [/tex]- кръстни=> [tex]\Delta ADM[/tex]- равнобедрен => означаваме [tex]DM=AD=b+x [/tex]

аналогично [tex]\Delta BNC[/tex]- равнобедрен=> [tex]BC=CN=b+y [/tex]
[tex]AB=NM =>AB=b+x+y [/tex]. забелязваме, че: [tex]AB+DC=y+b+x+b=2b+x+y [/tex]
[tex]AD+BC=x+b+y+b=2b+x+y =>AB+DC=AD+BC=>ABCD[/tex]- описан четириъгълник

заб. след малко ще пусна и второто, че окръжностите се допират, което си е основна задача. само да направя отделен чертеж Smile



obscure.png
 Description:
 Големина на файла:  18.48 KB
 Видяна:  1953 пъти(s)

obscure.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Jun 03, 2008 8:54 pm    Заглавие:

[tex]AB+CD=AD+BC [/tex]
AQ- доп. отсечка в [tex]\Delta ADC=>AQ=\frac{1}{2 }(AD+AC-DC) [/tex]
AP- доп. отсечка в [tex]\Delta ACB=>AP=\frac{1}{ 2}(AC+AB-BC) [/tex]

=>[tex]AQ-AP=\frac{1}{2 }( AD+AC-DC-AC-AB+BC)=\frac{1}{2 }=\frac{1}{2 }(AD+BC-(AB+CD)) =0 =>AQ=AP=>Q\equiv P [/tex]



obs2.png
 Description:
 Големина на файла:  22.01 KB
 Видяна:  1942 пъти(s)

obs2.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Jun 03, 2008 8:57 pm    Заглавие: Re: Зад.2 УАСГ,2006г.

ObsCure написа:
.Ако S<sub>▲PMN</sub> е лицето на ▲MNP докажете,че



оплескал си буквите....
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ObsCure
Фен на форума


Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
Репутация: 104.4
гласове: 28

МнениеПуснато на: Tue Jun 03, 2008 9:00 pm    Заглавие: Re: Зад.2 УАСГ,2006г.

ганка симеонова написа:
ObsCure написа:
.Ако S▲PMN е лицето на ▲MNP докажете,че



оплескал си буквите....


Exclamation
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Jun 03, 2008 9:02 pm    Заглавие:

PMN, MNP са един и същи триъгилник..
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ObsCure
Фен на форума


Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
Репутация: 104.4
гласове: 28

МнениеПуснато на: Tue Jun 03, 2008 9:07 pm    Заглавие:

ганка симеонова написа:
PMN, MNP са един и същи триъгилник..


Сори,написах го така тей като смятах,че се подразбира.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Jun 03, 2008 9:09 pm    Заглавие:

моля те ,обскуре, пиши на латекс.. не вдявам на другия запис.. Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Wed Jun 04, 2008 3:56 pm    Заглавие:

[tex]S_{PMN}=S_{OMP}+S_{OMN}+S_{ONP}=\frac{r^2}{ 2}(sin\alpha +sin\beta +sin(\alpha +\beta) )=....=2r^2.sin\frac{\varphi }{ 2}cos\frac{\alpha }{2} .cos\frac{\beta }{ 2}[/tex]
[tex]\alpha =\varphi -\beta ; \beta \in (0;\varphi ) [/tex]
да разгледаме функцията [tex]f(\beta )=cos\frac{\varphi -\beta }{2}.cos\frac{\beta }{ 2}[/tex]. ще потърсим най- голямата и стойност. за целта ще намерим производната и.
[tex]f'(\beta )=-\frac{1}{2 }sin\frac{\beta }{2}cos\frac{\varphi -\beta }{2}+\frac{1}{2 }cos\frac{\beta }{2}sin\frac{\varphi -\beta }{2}=\frac{1}{2 }sin\frac{\varphi -2\beta }{2 } [/tex]
приравняваме я на 0 и получаваме [tex]\beta =\frac{\varphi }{ 2} [/tex]
[tex]f"(\beta )=-\frac{1}{ 2}cos\frac{\varphi -2\beta }{2 } [/tex];[tex] f"(\frac{\varphi }{ 2}) =-\frac{1}{ 2}<0 =>\beta =\frac{\varphi }{2 } [/tex] е точка на локлален екстремум, който е максимум. понеже е единствен, там се достига и най- голямото лице.=> [tex] \alpha =\frac{\varphi }{2 } [/tex]
=>[tex]S\le 2r^2sin\frac{\varphi }{2 }cos^2\frac{\varphi }{4}=r^2sin\frac{\varphi }{ 2}(1+cos\frac{\varphi }{2})=r^2(sin\frac{\varphi }{ 2}+\frac{1}{2 }sin\varphi )=r^2\frac{2sin\frac{\varphi }{2}+sin\varphi }{ 2} [/tex]

да се върнем на [tex]S\le 2r^2sin\frac{\varphi }{2 }cos^2\frac{\varphi }{4}[/tex] и да разгледаме функцията [tex]h=sin\frac{\varphi }{2 }cos^2\frac{\varphi }{4} [/tex]
диференцирайки тази функция намираме , че първата производна се анулира при [tex]cos\frac{\varphi }{2 }=\frac{1}{ 2} [/tex] и по аналогичен начин установяваме, че това е точка на абсолютен максимум. тогава [tex]\varphi =120^\circ [/tex]=>
[tex] S\le 2r^2sin\frac{\varphi }{2 }cos^2\frac{\varphi }{4} \le r^2.\frac{3\sqrt{3} }{4 } [/tex]



obscure3.png
 Description:
 Големина на файла:  21.18 KB
 Видяна:  1886 пъти(s)

obscure3.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Wed Jun 04, 2008 4:37 pm    Заглавие:

по последното условие. от това ,че трапецът е равнобедрен=>
[tex]PN=\frac{2ab}{a+b } [/tex]
изразяваме квадрата на диагонала чрез питагор( за целта построяваме височина) и получаваме:
[tex]AC^2=\frac{a^2+6ab+b^2}{4 } [/tex]=>[tex]\frac{AC^2}{PN^2 }=...=\frac{1}{16 }(\frac{(a+b)^4}{a^2b^2 }+\frac{4(a+b)^2}{ab })\ge \frac{1}{16 }(\frac{16a^2b^2}{a^2b^2 }+\frac{4.4ab}{ab })=2 =>\frac{AC}{PN }\ge \sqrt{2} [/tex]

заб. за последното приложих неравенството м/у средното аритметично е средно геометрично, а именно че:[tex]a+b \ge 2\sqrt{ab} [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ObsCure
Фен на форума


Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
Репутация: 104.4
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Jun 04, 2008 4:48 pm    Заглавие:

Много благодаря за помощта!Чудесно решение!Надявам се задачата да е полезна и за останалите Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Wed Jun 04, 2008 4:53 pm    Заглавие:

благодаря Very Happy
в интерес на истината задачите на УАСГ са сериозни....особено геометрията и стереометрията. не си поплюват...
можем, да открием в кандидат-студенти- задачи за УАСГ
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.