задача от матура

[danchuuu]

Задача 19. Ако дължината на страната на един триъгълник е 6 см, а тангенсът на срещуположния й ъгъл е равен на 3, то радиусът на описаната около този триъгълник окръжност е равен на?
2√10 √10 6√10 \frac{3\sqrt{10}}{10}

[Реклама]

[nikolavp]

Нека ъгъла да бъде [tex]\alpha [/tex]
[tex]\alpha \in (0^\circ ;90^\circ )\cup (90^\circ ;180^\circ )[/tex]
=>

[tex]\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=3[/tex] и [tex]\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1[/tex]
[tex]\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{3}[/tex]
заместваме в другото =>[tex]\sin^2\alpha + \frac{\sin^2\alpha}{9}=1 /.9[/tex]
[tex]10\sin^2\alpha=9[/tex]
[tex]\sin^2\alpha = \frac{9}{10}[/tex]
[tex]\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}[/tex]([tex]\alpha[/tex] е ъгъл в триъгълник => [tex]\sin\alpha[/tex] е положителен)
Сега от синусова теорема
[tex]\frac{6}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=2R[/tex]
[tex]R = \sqrt{10}[/tex]

[ObsCure]

Правиш система с 2 уравнения

[tex]\frac{sin\alpha}{cos\alpha}[/tex]=3

и

sin ²α+cos²α=1

откъдето изразяваш sinα.След това прилагаш синусова теорема и готово.

P.S. Very fast,колега ;D