редица..

[ганка симеонова]

едно и една хубава задачка, специално за кандидат-студентите
да се намери сумата на :

[tex]1+2x+3x^2+4x^3+....+nx^{n-1} [/tex]

[Реклама]

[Nona]

[tex](1) \ \ \ \ \ \ S_n=1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^{n-1}[/tex]

[tex](2) \ \ \ \ \ \ x.S_n=x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n[/tex]

[tex](1)-(2) \Rightarrow (1-x)S_n=1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}-nx^n[/tex]

1 сл.) [tex]x=1[/tex]

[tex]\Rightarrow S_n=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

2 сл.) [tex]x\ne 1[/tex]

[tex]\Rightarrow (1-x)S_n=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n \\ S_n=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2 }[/tex]

[ганка симеонова]

Браво, Нона

[ганка симеонова]

аз бих го направила с производна, на сума на геометрична прогресия, но вече май не всеки изучава производни в училище..
много ми хареса решението ти..

[martosss]

[ганка симеонова]

нека разгледаме сумата на геометричната прогресия
[tex]s(x)=x+x^2+x^3+.....x^n=x\frac{x^n-1}{x-1 } [/tex]

забелязваме, че [tex]\delta =S^{'}(x)=(1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}) [/tex]

[tex]\delta [/tex]-е дадената сума. тогава:
[tex]\delta =\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2 } [/tex]
последното се получава, прилагайки производна на частно за S(x)

[ганка симеонова]

[nikolavp]

[ганка симеонова]

нона е ползвала друго, никола..
просто имаше техническа грешка, но се поправи....

[nikolavp]

Можете ли да обясните тогава, откъде дойдоха тези разсъждения

[Nona]

сбор на геомерична прогресия е

[tex]1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}[/tex]

[martosss]