cos55. cos65. cos175 = ?

[lucas]

по принцип задачата е тъждество cos55 . cos65 . cos 175 = - [tex]\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{16 } [/tex]
Но каквото и да направя стигам до никъде.Използвам формула за cosa. cosb но не получавам нищо. Моля ви за малко помощ

[Реклама]

[ганка симеонова]

ще ползвам пак едно известно тъждество, а именно че:

[tex]cos3\alpha=4cos(60^\circ -\alpha )cos\alpha cos(60^\circ +\alpha ) [/tex]

ако не можеш да го докажеш, ще ти го докажа. освен това:
[tex]cos55^\circ =-cos125^\circ ; cos175^\circ =-cos5^\circ [/tex]

тогава изразът добива вида:
[tex] cos125^\circ cos65^\circ cos5^\circ =cos(60^\circ +65^\circ )cos65^\circ cos(65^\circ -60^\circ )=\frac{1}{4 }cos195^\circ [/tex]-според тъждеството.

[tex]\frac{1}{4 }cos195^\circ =-\frac{1}{ 4}cos15^\circ =-\frac{1}{ 4}cos(45^\circ -30^\circ )=-\frac{1}{4 }(cos45^\circ cos30^\circ +sin45^\circ sin30^\circ )= [/tex]

[tex]=-\frac{1}{4 }(\frac{\sqrt{2} }{ 2}. \frac{\sqrt{3} }{2 }+\frac{\sqrt{2} }{ 2}\frac{1}{ 2})=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{16 } [/tex]

[lucas]

Много мерси Ганка Симеонова

[Grands]

Мисля, че съм го доказвал, но все пак ми е интересно доказателството на това тъждество.

[ганка симеонова]

преработваме дясната страна, като умножаваме първия и третия косинуси.

[tex]4cos\alpha .\frac{1}{ 2}[cos(60^\circ -\alpha-60^\circ -\alpha )+cos(60^\circ -\alpha +60^\circ +\alpha )]=2cos\alpha (cos2\alpha +cos120^\circ )= [/tex]

[tex]=2cos\alpha (2cos^{2}\alpha -1-\frac{1}{2 })=2cos\alpha (2cos^{2}-\frac{3}{2 })=4cos^{3}\alpha -3cos\alpha =cos3\alpha [/tex]

[lucas]

Последно исках да попитам за да разбера: cos(60+65).cos65.cos(65-60) - тук няма коефициентът 4 и следователно като използваме тъждеството на Ганка този коефициент се явява като [tex]\frac{1}{4 }[/tex] ? Правилно ли съм разбрал? Понеже видях това и в друга решена задача. Мерси предварително

[martosss]

[ганка симеонова]

отговарям първо на vesely, после на марто:

[tex] 4cos(60^\circ -\alpha )cos\alpha cos(60^\circ +\alpha )=cos3\alpha =>[/tex]
[tex]cos(60^\circ -\alpha )cos\alpha cos(60^\circ +\alpha )=\frac{1}{4 } cos3\alpha [/tex]

на марто:
аналогично доказваме, че:

[tex] 4sin(60^\circ -\alpha )sin\alpha sin(60^\circ +\alpha )=sin3\alpha [/tex]

тогава разделяйки почленно двете равенства, получаваме:

[tex]tg(60^\circ -\alpha )tg\alpha tg(60^\circ +\alpha )=tg3\alpha [/tex], респективно и:

[tex]cotg(60^\circ -\alpha )cotg\alpha cotg(60^\circ +\alpha )=cotg3\alpha [/tex]

[martosss]