Брой на корените (триг)?

[r2d2]

Колко корена в интервала [tex] x \in [20 \pi;29\pi] [/tex]има уравнението:

[tex]\frac{a\sin x-2}{a-2\cos x}=\frac{a\cos x-2}{a-2\sin x}[/tex]

в зависимост от "а"?

[Реклама]

[M_Velinova]

Не искам да отнемам удоволствието на кандидатстудентите да решат това уравнение.
Решенията са само 9.
Задачата е много добър тест за познаване на почти целия материал по алгебра и тригонометрия за средното училище.

Ако не съм права за броя на решенията, моля автора на задачата да ме поправи.

[r2d2]

Понякога са 9, понякога не са!

[nikolavp]

Ако никой не я решил до утре след като се върна от матурата ще ви я покажа . До тогава успех

[M_Velinova]

Да имах впредвид максимален брой. Според стойността на а естествено може 4 или 5.

[r2d2]

Нека някой я реши и ще видим!

[martosss]

[r2d2]

Това решение не е вярно!

Няколко забележки:
1. Деф. множество се състои от стойности на х, в зависимост от а.
2. Запис от вида х=45°+кπ е математическо недоразумение.

[martosss]

[nikolavp]

[tex]\frac{a\sin x-2}{a-2\cos x}=\frac{a\cos x-2}{a-2\sin x}[/tex]

[tex]a\ne 2cosx[/tex] и [tex]a\ne 2sinx[/tex]
[tex]\frac{a}{2}\ne cosx[/tex] и [tex]\frac{a}{2}\ne sinx[/tex]

Махаме знаменателите и от двете страни =>

[tex]a^{2}sinx-2a-2a\sin^{2}x+4sinx=a^{2}cosx-2a-2a\cos^{2}x+4cosx[/tex]Унищожаваме -2а от двете страни и всичко от ляво <=>

[tex]a^2(sinx-cosx)-2a(\sin^{2}x-\cos^{2}x)+4(sinx-cosx)=0[/tex]
[tex](sinx-cosx)(a^2-2asinx-2acosx+4)=0[/tex]
Сега нека за по - лесно да направим интервала [tex]x\in [20\pi;29\pi][/tex]на [tex] x\in [0;9\pi][/tex](1)(това са 4 оборота + половин оборот на окръжността) като ще отбележим, че това няма да вляе на броя на решенията и да започнем да решаваме задачката . Израза има решение/корени, когато едната или другата скоба са равни на нула =>

Iсл: Гледаме само първата скоба и имаме
[tex]-\sqrt{2}\cos(x+45^\circ)=0[/tex]
[tex]x+45^\circ = \frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]
Това са 9 корена общо в интервала [tex][0;9\pi][/tex]

Сега ще се съобразим с дефиниционната област. Ясно се вижда, че ако [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex] cos и sin приемат стойности [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] и [tex]-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] => ще трябва да проверим за [tex]\frac{a}{2}\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
1)При [tex]a = \sqrt{2}[/tex] => [tex]cosx,sinx \ne \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]=> 5-те корена в първи квадрант, когато [tex]x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi[/tex] отпадат => [tex]x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi[/tex] и това са 4 корена в (1)

2)При [tex]a = -\sqrt{2}[/tex] => [tex]cosx,sinx \ne -\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]=> 4-те корена от 3ти квадрант на окръжността отпадат и остават само 5-те, когато [tex]x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi[/tex] в (1)

IIсл: Гледаме само втората скоба
[tex]a^2-2a(sinx+cosx)+4=0[/tex]
[tex]a^2-2\sqrt{2}a\sin(x+45^\circ)+4=0[/tex]
Гледаме като квадратно спрямо параметъра =>
[tex]D = 2\sin(x+45^\circ)-4[/tex] и от [tex]sin(x+45^\circ)\in [-1;1][/tex] => D<0 за всяко x => Втората скоба е положителна

Окончателно имаме:
За [tex]a\in (-\infty ;-\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2};\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2};+\infty)[/tex] - 9 корена
За [tex]a = \sqrt{2}[/tex] 4 корена
За [tex]a = -\sqrt{2}[/tex] 5 корена

EDIT: Много яко, спуках се от писане и ето, че и някой друг я е решил

[martosss]

Аха, ето къде съм се омотал . Браво, Ники !

П.П.