Лице на трапец

[evgeni91]

Дадено: ABCD_трапец\a||b\
a,b,
остър ъ-л="α"
ъ-л между диагоналите="β"
-----------------------------------
S(ABCD)=?

[Реклама]

[error]

а бе не че знам дали тай ще стане
но пробвай като спуснеш двете височини после гледай от получените правоъгълни триъгълници заедно с ъгъла да изразиш някоя сртрана и там косинова теорема да напраиш и май тря се получи нещо ..сори за глупавия начин на обяснение..
важното е нали знаеш сам да видиш нещата..

[nikolavp]

Двете височини е хубаво да ги пускаш, когато трапецът е равнобедрен в случая той не е . Интересна задача, само че няма да мога да и обърна внимание точно днес

[evgeni91]

стандартната задача е когато "β"_между диагоналите=90, тогава имаме директна зависимаст между основи и бедра: а²+b²=d²+c², но сега при внасянето на "β" тя малко ще се промени... \\обаче до тук с подсказването ...

[Умник]

[evgeni91]

съмнявям се, че с височините ще се получи..., но, ако греша... поправяйте!

[evgeni91]

е... някой да има идеи по задачата?

[nikolavp]

[martosss]

е ми от косинусовите теореми за ▲АВО,▲ВОС, ▲СОД и ▲АОД, където О е прес. точка на диагоналите, получавам, че a²+b²=c²+d²-2cosβ*AC*BD откъдето намираме [tex]S_{ABCD}=\frac{c^2+d^2-(a^2+b^2)}{4}[/tex], където c и d са ни бедрата на трапеца, но не знам тях как да ги изразя

[martosss]

Хах, успях да ги изкарам 4 у-я с 4 неизвестни - 2 бедра и 2 диагонала, сега остана да ги изразя, ама е много тегава работа, понеше на всякъде имам на втора степен истава страшно

[evgeni91]

хайде, като стигнете до нещо по-конкретно ще пусна и моето писание...

[martosss]

Ти цялата ли си я решил?

[martosss]

Сега като "опростих" системата от вчера го докарах че [tex]S_{ABCD}=\frac{csin\alp (a+b)}{2}[/tex] , но все пак има едно мазно "с", което ми бърка работата
Ето и системата ми :
(1)Успоредно пренасяне на диагонали(синия триъгълник):
(2)Кос. теорема за АВД
(3)Кос. теорема за АСД

[tex]\begin{tabular}{|l}(1)d_1^2+d_2^2=(a+b)^2-2d_1d_2cos\be\\(2)d_1^2=c^2+a^2-2accos \alp\\(3)d_2^2=b^2+c^2+2bccos \alp \end{tabular} [/tex]

Където [tex]a,\: b,\: c,\: d[/tex] са страните на трапеца [tex](AD=c, BC=d),\: a\: d_1\: u\: d_2 \: ca\:[/tex] диагоналите[tex](d_1=BD, d_2=AC)[/tex]

В тази система от (2) и (3) изразяваме двете диагоналчета, замествам в (1) и повдигам на квадрат, след което [tex]cos^2\be[/tex] го представям като [tex]1-sin^2\be[/tex] и половината неща се съкращават, остава [tex]sin^2\be d_1^2d_2^2=c^2(a+b)^2sin^2\alp[/tex] откъдето и следва горното равенство за лицето.

Впрочем има и още едно уравнение, но не знам как да ми помогне:
Успоредно пренасяне на бедра(червения триъгълник):
[tex]d^2=c^2+(a-b)^2-2c(a-b)cos\alp[/tex]

Ти си, Евгени

Ето и картинка

[evgeni91]

ето и моето решение:
AB=a, CD=b, BC=c, AD=d, ъ-лBAD=α,ъ-лAOB=β_(AC∩BD->O)
...ясно е защо...
1.) a²+b²=c²+d²-2cosβ.AC.BD

Построяваме:
CM||d, M z AB,=> CM=d;
▲MBC:
c²=d²+(a-b)²-2d(a-b)cosα
..заместваме в 1.) и получаваме:
a²+b²=d²+(a-b)²-2d(a-b)cosα+d²-2cosβ.AC.BD
a²+b²=a²+b²-2ab+2d²-2d(a-b)cosα-2cosβ.AC.BD
съкращаваме:a²+b²
2d²-2ab-2d(a-b)cosα-2cosβ.AC.BD=0 :/2
d²-ab-d(a-b)cosα-cosβ.AC.BD=0
2.) d²-d(a-b)cosα-cosβ.AC.BD-ab=0

нека CH=h_височина в трапеца, H z AB
▲MHC_правоъгълен
sinα=h/d, h=sinα.d

S_тр=1/2.(a+b).h=1/2.(a+b).sinα.d
построяваме СB1||DB, B1 z AB(на правата AB)... =>CB1=DB
,но S_тр=1/2.AC.BD.sinβ
=> 1/2.(a+b).sinα.d=1/2.AC.BD.sinβ,
(a+b).sinα.d=AC.BD.sinβ
AC.BD=(a+b).sinα.d/sinβ

заместваме в 2.)
d²-d(a-b)cosα-cosβ.(a+b).sinα.d/sinβ-ab=0

d²-d(a-b)cosα-cosβ/sinβ.(a+b).sinα.d-ab=0

d²-d(a-b)cosα-cotgβ.(a+b).sinα.d-ab=0

d²-d[(a-b)cosα+cotgβ.(a+b).sinα]-ab=0

полагаме(за по-малко писане и по-голяма прегледност): t=[(a-b)cosα+cotgβ.(a+b).sinα]

решаваме като квадратно спрямо d:

D=t²+4ab,

d1=[t+√(t²+4ab)]/2, >0...решение

d2=[t-√(t²+4ab)]/2 ...?

\\доказателство, че d2<0, а именно:
сравняваме t и √(t²+4ab)

√t²=t, но 4ab>0...(a,b>0)
=> √(t²+4ab)>t
=>d2<0... не се разглежда като решение


заместваме във вече получената формула: S_тр=1/2.(a+b).h=1/2.(a+b).sinα.d
... и мисля, че е това...

, ако има грешки или неследващи следствия надявам се да поправяте...

[martosss]

[evgeni91]

грешката е моя... в записа от бързане съм написал ▲AHC вместо ▲MHC\\сега е поправено\!