Изразете чрез елементарни симетрични полиноми полинома

[geriiiii]

Изразете чрез елементарни симетрични полиноми sigma1,sigma2,sigma3 симетричния полином
[tex] f(x1,x2,x3)= \sum_{}^{ } x1^6*x2^3*x3^2 = x1^6*x2^3*x3^2 + x1^6*x2^2*x3^3 + x1^3*x2^6*x3^2+x1^3*x2^2*x3^6+x1^2*x2^6*x3^3+x1^2*x2^3*x3^6 [/tex]

[Реклама]

[martosss]

[martosss]

Какво значи елементарен симетричен полином ? Аз това като го гледам бих му извадил [tex]x_1^2*x_2^2*x_3^2[/tex] пред скоба и вътре ще останат доста малко неща

[geriiiii]

не трябва нищо да се изважда пред скоба

[ганка симеонова]

елементарините симeтрични полиноми на три променливи са:

[tex]\sigma_1=x_1+x_2+x_3 [/tex]

[tex]\sigma_2=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 [/tex]

[tex]\sigma _3=x_1x_2x_3 [/tex]

[ObsCure]

Симетрични полиноми...Мартос,има ги и при дядо Виет.

x₁+x₂

x₁x₂

[martosss]

Ок, сега вече след като ми ги обяснихте остана само някой да го разложи това чудовище горе

[ганка симеонова]

не трябва да се разлага, а да се представи като израз на симетричните полиноми

[Volen Siderov]

както марто казва трябва да се разложи на симетр. полиноми ,затова 1 вадим пред скоби (abc)^2 -ще означа елем. полиноми с A,B,C а x1,x2,x3 с a,b,c
после от сисемата:
a+b+c=A
ab+ac+bc=B (1)
abc=C

чрез заместване и 1-2 прости фокуса намираме че:

a^3 - Aa^2 + Ba - C =0

тука обаче разбираме че понеже системата е симетрична т.е. a,b,c са всаимно заменяеми то и:


b^3 - Ab^2 + Bb - C =0 (2)
c^3 - Ac^2 + Bc - C=0

Това ако мога да се отклоня означава че ако имаме кубично у-ие с реални корени то за него важат формулите (1) подобни на тези на виет


Нататък следва че търсеният израз е P=C^2(a^4b+a^4c+b^4a+b^4c+c^4a+c^4b)

вътре в скобите израза го преобразуваме така: ba^4=Aba^3 - Bba^2 + Cab
това го вземаме от 1-то уравнение на (2) като го умножим с ab
по същия начин намираме и останалите събираеми в скобите и после ги групираме ц множители съответно A,B,C :

P=C^2(A(ba^3+ca^3+ab^3+cb^3+ac^3+bc^3) -
- B(ba^2+ca^2+ab^2+cb^2+ac^2+bc^2) + 2CB

за израза в скобите след А прилагаме същата тактика:с-мата (2) умножаваме последователно с a,b,c и заместваме ba^3,ca^3 и т.н. в скобите и после ако означим израза в скобите на B с M получаваме:

P=C^2(A(AM - 2BB + 2CA) - BM + 2CB)

за намиране на М умножавам второто уравнение на (1) с a,b i c :
M=Ba-C+Bb-C+Bc-C=BA-3C

P=C^2(BA^3-CA^2+AB^2+5BC) получавам ако някаде няма някоя грешка