Още едно неравенство

[Titu_Andrescu]

Да се докаже,че ако a,b,c>0, то 1/(8a^2+bc)+1/(8b^2+ca)+1/(8c^2+ab)≥1/(ab+bc+ca).

Успех!

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

Мисля, че измина достатъчно време да помислите. За съжаление никои не успя да реши задачата. Надявах се поне ianikia да стигне до някъде с решението. Все пак за по-напред да знаете, че не само решенията вършат работа. Пишете свойте идеи за решение на някоя задача, която съм предложил (ако не можете да я решите и искате да знаете решението), а аз от моя страна ще ви напътствам доколкото мога.



Решение. Лема: Нека A=b^2c^2(8a^2+bc)+c^2a^2(8b^2+ca)+a^2b^2(8c^2+ab), тогава
(ab+bc+ca)^3-A=3abc(a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2)≥0 (проверете сами, че е изпълнено тъждеството), като равенство се достига тогава и само тогава, когато a=b=c.

От неравенството на Коши-Б.-Ш. следва, че
[b^2c^2/(b^2c^2(8a^2+bc))+c^2a^2/(c^2a^2(8b^2+ca))+a^2b^2/(a^2b^2(8c^2+ab))].A≥(ab+bc+ca)^2.
Следователно:
1/(8a^2+bc)+1/(8b^2+ca)+1/(8c^2+ab)=
=b^2c^2/(b^2c^2(8a^2+bc))+c^2a^2/(c^2a^2(8b^2+ca))+a^2b^2/(a^2b^2(8c^2+ab))≥
≥((ab+bc+ca)^2)/T≥(ab+bc+ca)^2/((ab+bc+ca)^3)=1/(ab+bc+ca)

[Titu_Andrescu]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=605