Ето една задача и решението и

[Garoll]

Поствам една задача по тригонометрия заедно с доказателството.
Да се докаже тъждеството:
[tex]\frac{1}{\cos\frac{\pi }{7} } - \frac{1}{\cos\frac{2\pi }{7} } +\frac{1}{\cos\frac{3\pi }{7} } =4[/tex]
[tex]\cos\frac{2\pi }{7}.\cos\frac{3\pi }{7}-\cos\frac{\pi }{7} .\cos\frac{3\pi }{7} +\cos\frac{2\pi }{7}.\cos\frac{\pi }{7} = 4\cos\frac{\pi }{7}.\cos\frac{2\pi }{7}.\cos\frac{3\pi }{7}[/tex]

Имаме , че [tex]\cos\frac{3\pi }{7}=\cos(\pi -\frac{4\pi }{7})=-\cos\frac{4\pi }{7}[/tex]
Получаваме следното равенство:
[tex]\cos\frac{2\pi }{7}.\cos\frac{3\pi }{7}-\cos\frac{\pi }{7} .\cos\frac{3\pi }{7} +\cos\frac{2\pi }{7}.\cos\frac{\pi }{7} = -4\cos\frac{\pi }{7}.\cos\frac{2\pi }{7}.\cos\frac{4\pi }{7}[/tex] Умножаваме и делим дясната страна на равенството с [tex]\sin\frac{\pi }{7} [/tex] и чрез използването на основна тригонометрична формула получаваме следното равенсто:
[tex]\cos\frac{2\pi }{7}.\cos\frac{3\pi }{7}-\cos\frac{\pi }{7} .\cos\frac{3\pi }{7} +\cos\frac{2\pi }{7}.\cos\frac{\pi }{7} = \frac{1}{2}[/tex]
След прилагане формулата [tex]Cos\alpha .Cos\beta [/tex] за дясната страна получаваме:
[tex]\cos\frac{\pi }{7} +\cos\frac{5\pi }{7}-\cos\frac{2\pi }{7} -\cos\frac{4\pi }{7} +\cos\frac{\pi }{7} +\cos\frac{3\pi }{7} =1[/tex]
След прилагане на формулата [tex]\cos(180-\alpha)[/tex] получаваме:
[tex]2\cos\frac{\pi }{7} -2\cos\frac{2\pi }{7} +2\cos\frac{3\pi }{7} =1[/tex]
[tex]2(\cos\frac{\pi }{7} -\cos\frac{2\pi }{7} +\cos\frac{3\pi }{7}) =1[/tex]
Прилагаме формулата [tex]Cos\alpha +Cos\beta [/tex] и след разкриване на скобите получаваме:
[tex]4\cos\frac{2\pi }{7} .\cos\frac{\pi }{7}-2\cos\frac{2\pi }{7}=1[/tex] Умножаваме цялото равенство със [tex]\sin\frac{\pi }{7}[/tex] и получаваме следното равенство:
[tex]4\sin\frac{\pi }{7} .\cos\frac{\pi }{7} .\cos\frac{2\pi }{7} -2\cos\frac{2\pi }{7}.\cos\frac{\pi }{7} =\sin\frac{\pi }{7} [/tex]
След прилагането на същата основна тригонометрична формула и формулата [tex]Sin\alpha.Cos\beta [/tex] получаваме следното равенство:
[tex]\sin\frac{4\pi }{7} -\sin\frac{3\pi }{7} +\sin\frac{\pi }{7}= \sin\frac{\pi }{7}[/tex]
[tex]0=0[/tex] , с което тъждеството е доказано.
Задачата я решавам за 1 приятел.Като се напише така е най-прегледно.Мисля , че ще е полезна и на други хора.Ако има някакъв проблем в 1 тема да решавам някакви задачи на хора , които ме питат за подробни решения , кажете и няма да ги пиша тук...Също така , ако се сещате за нещо по-рационално пишете...

Виж как съм написал последния ред! Така е много по-четливо. Няма да е зле да оправиш и останалото! r2d2

[Реклама]

[Garoll]

аха, сега видях , че се слага "\" отпред.На мен просто не ми излизаше като дроб , а с Caps Lock излиза и затова го направих така...
[tex]\sin\frac{5\pi }{6}[/tex] -> вече ще ги пиша така.Мерси.