Задачи за класно по математика

[nikia_m]

1 зад. ABCD е вписан ACxBD=S SA1 успоредна на BC SC1 успоредна на CD SB1 успоредна на BC и SD1 успоредна на DA.Док 4е A1B1C1D1 описан около окр. с центар S.

зад 2 ABCD успоредник ъгъл BAD=60.през A,B,Dминава окр с R=3 която преси4а CD в средата и. периметара на ABCD e=?
Ако искате о6те такива 6антави зада4и (поне за мене де) да пи6е имам о6е мн :

[Реклама]

[martosss]

За втора задача спокойно може да си го начертаеш точно и да "видиш" че е 18 Поне според мен е толкоз... тоя АВД ми изглежда правоъгълен с ъгъл АДВ=90

[Spider Iovkov]

Зад. 2. Ако [tex]P[/tex] е точката, в която окръжността пресича страната на успоредника [tex]ABCD[/tex], то [tex]\triangle BPC[/tex] е равностранен!

Р е ш е н и е :

Точката [tex]P[/tex] е средата на страната [tex]CD[/tex]. [tex]DP[/tex] е успоредна на [tex]AB[/tex] и следователно четириъгълникът [tex]ABPD[/tex] е равнобедрен трапец, вписан в окръжност. От [tex]\triangle ABD[/tex] чрез прилагане на синусовата теорема намираме, че [tex]BD=3\sqrt{3}[/tex]. От свойството на вписания в окръжност четириъгълник определяме, че ъгъл [tex]BPD=120^\circ[/tex]. Но [tex]DPB+CPB=180^\circ[/tex] и оттук следва, че [tex]BPC=60^\circ; PCB=60^\circ[/tex] (по условие) и следователно [tex]CBP=60^\circ[/tex], откъдето определяме, че [tex]\triangle BCP[/tex] е равностранен. Нека означим страните му с [tex]x[/tex]. Тогава голямата страна на успоредника ще е [tex]2x[/tex].
За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагаме косинусовата теорема: [tex]BD^2=AD^2+AB^2-2.AD.AB.cos60 \Leftrightarrow (3\sqrt{3})^2=x^2+(2x)^2-2.x.2x.\frac{1}{2} \Leftrightarrow 3x^2=27 \Leftrightarrow x^2=9 \Leftrightarrow x= \pm 3[/tex]. Тъй като търсим отсечка, то [tex]x=3[/tex]. Така за периметъра на успоредника получаваме: [tex]3+3+2.3+2.3=3+3+6+6[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]P_{ABCD}=18[/tex].

[nikia_m]

Емо стра6но много ти благодаря

[Spider Iovkov]

Няма защо, . Дай още задачи!

[nikia_m]

еми парвата ?
ина4е еи сега 6те ти напи6а имам кам 50 зада4и само да те помоля може ли да ги ре6и6 с знания за 8ми клас

[nikia_m]

ина4е еи ти други зада4и : зад 3: триъгалник ABC с хипотенуза АB=c и радиуси на вписаната окр r Да се намеру радиуса на вън6но вписаната до хипотенузата окр
зад 4:ABCD трапец AB||CD AB=2a BC=CD=DA=a I център на вписаната в ABD окр а О е среда на AB Док,4е BOID е вписан и намерете радиуса на описаната му окр

[martosss]

за третата задача това че е хипотенуза какво значи - правоъгълен триъгълник АВС или АВ е най-голямата страна?

[nikia_m]

еми 4е АB лежи сре6ту 90 градуса до колкото аз знам

[Spider Iovkov]

[martosss]

4-та)
АВСД е равнобедрен трапец => около него може да се опише окръжност.
Ако свържеш О със С и Д получаваш 3 равностранни триъгълника - ▲АОД,▲ДОС и ▲ВОС откъдето ъгълВАД=60°, ъгъл ДОВ=120° откъдето О е център на описаната около АВСД окръжност.
[tex]\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{DC}=\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{BC}=\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{AD}\Right[/tex] ъгъл АВД=ъгълДВС=1/2ъгъл АВС=30°=> ъгъл АДВ=180°-ъгъл ВАД-ъгълАВД=180°-60°-30°=90°.
DI - ъглополовяща на ъгъл АДВ => ъгъл АDI=[tex]\angle IDB=45^\circ[/tex].
ъгъл IDO=АДО-ADI=60°-45°=15°

AI е ъглополовяща и ъгъл ДАI=ъгъл IAO=30°

утре ще я довърша че вече нещо зациклих и ми се спи

[martosss]

за 3-та ако външновп. окр. се допира до АС и ВС в точки Р и К и е с център О се опитай да изразиш лицето на ОКСР като РК*R и като [tex]S_{ABC}+S_{OKBAP}[/tex] освен това ако АВС е правоъгълен имаш a²+b²=c² - още една връзка, сигурен съм че има решение, ама трябва да е правоъгълен, ако е произволен не знам айде утре ще говорим

[nikia_m]

[M_Velinova]

[tex]p=r+c[/tex]
[tex]r_c=p[/tex]
[tex]r_c=c+r[/tex]
Основни задачи от учебника за 8 клас.

[martosss]

3) нека триъгълникът АВС е правоъгълен с хипотенуза [tex]c[/tex] и радиус [tex]R[/tex] на външновписаната за АВ окръжност.
Нека външновп. окр. е с център О и се допира до правите АС и ВС съответно в точките К и Р.
Тогава имаш, че ОРСК е квадрат, защото има 3 прави ъгъла(ъгъл К, ъгъл Р и ъгъл С) откъдето СК=СР=[tex]\red\frac{P}{2}=R[/tex](СК и СР се явяват полупериметри, защото са равни сборът им дава целия периметър на АВС)и освен това ОК=ОР=[tex]R[/tex].
Oт тук [tex]S_{OPCK}=[/tex][tex]R^2[/tex]=[tex]S_{OKBAP}+S_{ABC}=\frac{R*\cancel 2c}{\cancel 2}+[/tex][tex]\red\underbrace {\frac{P}{2}}_{R}[/tex][tex]*r\Right R\cancel {^2}=\cancel R(c+r)\Right R=c+r[/tex]

[martosss]

4)
Имаш трапец АВСД и АВ=2а, АД=СД=ВС=а, О е среда на АВ.
АД=ВС => АВСД е равнобедрен.
Нека вписаната в АВД окръжност се допира до АД и АВ съответно в Р и К и е с център Т(точка I по условие я слагам да е Т, за да мога да пиша на БГ )
свързваш О със С и Д и получаваш ромбовете ОВСД и АОСД откъдето ОД=ОС=АД=ВС=а.
получихме [tex]AO=OD=AD=OB=OC=BC=CD=> \Delta BOC,\: \Delta OCD,\: \Delta AOD[/tex] са равностранни и [tex]\angle OAD =60^\circ =\angle ABC=\angle ADO=\angle ODC=\angle DOC=\angle COB[/tex]
ВД се явава ъглополовяща в ромба ОВСД и [tex]\angle [/tex]ОДВ=[tex]\angle [/tex]ВДС=30°
[tex]\angle [/tex]АДВ=[tex]\angle [/tex]АДО+[tex]\angle [/tex]ОДВ=90°
ДТ е ъглополовяща на [tex]\angle [/tex]АДВ => [tex]\angle [/tex]АДТ=[tex]\angle [/tex]ТДВ=45° => [tex]\red\angle [/tex] ТДО=[tex]\angle [/tex] АДО-[tex]\angle [/tex] АДТ=60°-45°=15°.

Сега от окръжността имаме АК=АР като допирателни, АД=АО=а => [tex]AD-AP=AO-OK => [/tex][tex] PD=KO[/tex]
РТ=ТК като радиуси,
[tex]\angle [/tex] ОКТ=[tex]\angle [/tex]ДРТ=90° => ▲КОТ≡▲ПДТ по първи признак и от тук ТД=ТО и ТОД е равнобедрен => [tex]\red\angle [/tex]ТОД=[tex]\red\angle [/tex] ТДО=15°.
Сега [tex]\angle [/tex] ТОВ=[tex]\angle [/tex] ТОД+[tex]\angle [/tex] ДОС+[tex]\red\angle [/tex] СОВ=15°+60°+60°=135°, [tex]\red\angle [/tex] ТДВ=45° => ОВДТ е вписан в окръжност.

Сега от синусовата теорема за ОВД имаме [tex]\frac{OB}{sin30^\circ}=2R\Right R=a[/tex] Ако не сте учили синусова теорема не знам как ще се намери радиуса, може би ще трябват някакви допълнителни построения

[nikia_m]

Мн ти благодаря

[martosss]

ето за 4) как се доказва колко е радиуса:
Центъра на Оп. окр. по условие е на равни разстояния от всички върхове, имаш ВС=ОС=ДС=а, сега остава да докажеш че ТС=а и си готов - точка С става на равни разстояния от О, В, Т и Д
Ето как става това:
имаш ТО=ДО, ОС=ДС от тук С и Т са точки от симетралата на ОД => ъгъл ТСО=ъгъл ТСД=30°, освен това ъгъл ТОС=60+15=75° и сега от триъгълник ОСТ намираш ъгъл ОТС=180°-30°-75°=75°=ъгъл TOC => ▲TOC е равнобедрен и ТС=ОС=а с което задачата е доказана - С е център на търсената окръжност и радиусът е ВС=ОС=ТС=ДС=а

[nikia_m]

Искате ли о6те 6антави зада4и

[Spider Iovkov]

Да!

[nikia_m]

ЗАД 5: В трашеца АВЦД е вписана полу окръжност с център лежа6т на по-голямата основа АВ Док 4е АВ=АД+ВЦ
Зад 6:▲ АВЦ с радиуси Р на вписана окр. и радиуси на вътре вписана окр. Ра,Рв,Рц док 4е 1/Р=1/Ра+1/Рв+1/Рц

[ганка симеонова]

[tex]\Delta AOD[/tex] и [tex]\Delta BOC[/tex]- равнобедрени.
=>[tex]AO=AD; BO=BC [/tex]

[martosss]

за другата - пусни височини и се опитай да изразиш външните радиуси чрез полупериметъра и вътрешния радиус - после само остава да ги събереш и равенството е готово. Изразяването става чрез подобни триъгълници