Задача от матура

[Нелката]

Да се намери лицето на правоъгълен триъгълник ABC ([tex] C[/tex]=90), височина CH=3см и ъглополовяща CL =4 см

[Реклама]

[ганка симеонова]

36 ли е?

[ганка симеонова]

лично аз бих я решила по следния начин. ще ползвам една формула за углополовящата на правия ъгъл в правоъгълен триъгълник, която се извежда сравнително лесно.
ако не успееш, да я изведеш, кажи..
нека имаме стандартни означения за страните на триъгълника и с l да означим ъглополовящата на правия ъгъл, а с h- височината към хипотенузата..

[tex] l=\frac{ab\sqrt{2} }{a+b }=> 4=\frac{ab\sqrt{2} }{a+b } [/tex]

повдигаме на втора степен=>

[tex]16=\frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2ab }=\frac{2a^{2}b^{2}}{c^{2}+2ab } [/tex]

от метричните зависимости в прав. триъгълник следва, че:

[tex]h=\frac{ab}{ c} =>c^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{9 } [/tex]

заместваме в горното равенство и получаваме:

[tex]16=\frac{2a^{2}b^{2}}{ \frac{a^{2}b^{2}}{9 }+2ab } [/tex]

полагаме [tex]ab=x [/tex] и решаваме полученото уравнение. получаваме

[tex]x=72 =>ab=72 [/tex]

[tex]S=\frac{ab}{ 2} =36 [/tex]

[Нелката]

Много благодаря!
А това ли е формулата за ъглополовяща в правоъгълен триъгълник [tex] l=\frac{ab\sqrt{2} }{a+b }[/tex]?

[ObsCure]

Да,това е.