a,b

[ганка симеонова]

Дадено е уравнението

[tex]\sqrt[3]{(ax+b)^{2}}+\sqrt[3]{(ax-b)^{2}}+\sqrt[3]{a^{2}x^{2}-b^{2}}=\sqrt[3]{b} [/tex], където а и b са параметри.

а)Да се реши уравнението при b=1.

б)Да се намери за кои стойности на параметрите а и b уравнението има единствено решение.

[Реклама]

[martosss]

[tex]\sqrt[3]{(ax+b)^{2}}+\sqrt[3]{(ax-b)^{2}}+\sqrt[3]{a^{2}x^{2}-b^{2}}=\sqrt[3]{b} [/tex], където а и b са параметри.

[tex]\red 1.1\; b=0,\; a=0\:\Right[/tex],всяко х е решение.

1.2 b=0, а≠0 => х=0.

[tex]2.1\; b\ne 0\; a=0\Right \sqrt[3]{b^2}\cancel {+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{-b^2}}=\sqrt[3]b\Right \cancel {\sqrt[3]{b}}*\left(\sqrt[3]b-1\right)=0\Right[/tex][tex] \red\fbox{b=1}[/tex], всяко х е решение



[tex]2.2\; b\ne 0\; a\ne 0\; \Leftright\sqrt[3]{ax+b}-\sqrt[3]{ax-b}\ne 0[/tex]
Нека умножим двете страни на равенството по горния израз.


[tex]\left( \underbrace {\sqrt[3]{ax+b}}_{a}-\underbrace {\sqrt[3]{ax-b}}_{b}\right) * \left(\underbrace {\sqrt[3]{(ax+b)^{2}}}_{a^2}+\underbrace {\sqrt[3]{(ax-b)^{2}}}_{b^2}+\underbrace {\sqrt[3]{a^{2}x^{2}-b^{2}}}_{ab}\right)=\sqrt[3]{b}*\left( \sqrt[3]{ax+b}-\sqrt[3]{ax-b}\right) [/tex]

Сега от дясно се получава формула за съкратено умножение [tex](a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3[/tex] и получаваме

[tex]\underbrace {\left(\cancel {ax}+b-(\cancel{ax}-b)\right)}_{2b} = \sqrt[3]{b}*\left(\sqrt[3]{ax+b}-\sqrt[3]{ax-b}\right)\;\;\; :\sqrt[3]b\ne0[/tex]

[tex]2\sqrt[3]{b^2}=\sqrt[3]{ax+b}-\sqrt[3]{ax-b}\;\;/^3[/tex]

[tex]8b^2=\underbrace {\cancel {ax}+b-(\cancel {ax}-b)}_{2b}-3\sqrt[3]{(ax+b)*(ax-b)}*\underbrace {\left(\sqrt[3]{ax+b}-\sqrt[3]{ax-b}\right)}_{2\sqrt[3]{b^2}}\;\; :2\sqrt[3]{b^2}\ne0[/tex] заместваме от горе, като после ще направим проверка

[tex]\sqrt[3]b*(4b -1)=-3\sqrt[3]{a^2x^2-b^2}\;\;\; /^3[/tex]

[tex]b(4b-1)^3=-27a^2x^2+27b^2[/tex]

[tex]x^2=-\frac{64b^4-48b^3+12b^2-b-27b^2}{27a^2}=\frac{-b(64b^3-48b^2-15b-1) }{27a^2}[/tex]

Сега от Хорнер намираме корен [tex]x=-\frac{1}{8}[/tex](Доста го копах докато го открия ) и уравнението добива вида

[tex]x^2=\frac{-b*\left(b+\frac{1}{8}\right)*(64b^2-56b-8 )}{27a^2}=\frac{-8b*\left(b+\frac{1}{8}\right)*(b-1)*\left(b+\frac{1}{8}\right)}{27a^2}[/tex]

Сега за да може да има единствено решение, то лявата страна трябва да е равна на 0, тоест [tex]-8b*\left(b+\frac{1}{8}\right)*(b-1)*\left(b+\frac{1}{8}\right)=0[/tex]
[tex]b_1=0\notin D.S.,\; b_2=1,\; b_{3,4}=-\frac{1}{8}[/tex]

Окончателно:
При [tex]b=1,\; a=0[/tex] всяко х е решение.
При [tex]b=1,\; a\ne 0[/tex] то x=0 е единствено решение.
Единствено решение има
при [tex]b=1,\: -\frac{1}{8}\cap a\ne 0[/tex], когато х=0 и
при [tex]b=0,a\ne 0[/tex], когато отново х=0

[ганка симеонова]

б) лявата страна на уравнението, разглеждана като функция на х е четна. тогава единствено решение на уравнението би могло да има, само ако х=0. тогава

[tex]\sqrt[3]{b^{2}}+ \sqrt[3]{b^{2}}+ \sqrt[3]{-b^{2}}=\sqrt[3]{b} =>b=0 [/tex]или [tex]b=1 [/tex]

уравнението има едиствено решение х=0 само ако а не е 0.
при b=1, от доказаното в а) получаваме, че само ако [tex]a\ne 0 [/tex] уравнението има единствено решение.