Уравнения с прости числа

[Titu_Andrescu]

Ако р и q са прости числа, а n e естествено. Да се реши уравнението
a) (p-q)^3=p+q
*b) p^3-q^5=(p+q)^2
c)p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)

Успех!

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

Първото е лесно:
Нека p-q=n. Тогава от условието следва, че p+q=n^3.
Следователно 2q=n^3-n=(n-1)n(n+1) - три последователни естествени числа => 2q се дели на 3 => q се дели на 3, но q е просто => q=3.

[problem_fucker]

Само прорусна да кажеш, че n=1.
Още едно решение на а
(p-q)^3=(p-q)(p^2+pq+q^2)=p+q =>
(p-q)/(p+q)
Нека p-q=n:
n/(n+2q) => n/2q.
Ако n е нечетно, тогава n=1 (защото е разлика на 2 прости числа) и
p=3, q=2. Като заместим в главното уравнение получаваме, че (3,2) не е решение.
Ако n = 2:
p=q+2
(q+2-q)^3=q+2+q
8=2q+2
q=3, p=5
Така (5,3) е решение.
Ако n=2q:
p-q=2q
p=3q => q/p, но p и q са прости -> p=q -> p=3q=3p ->p=3p ->p=0, което не е просто.
Така получаваме, че (5,3) е единственото решение.

[Titu_Andrescu]

Не съм пропуснал нищо. Прочети пак решението ми. (Аз доказвам, че q=3 и после проверявам дали има просто число р, за което q да e 3). И n=2, а не на 1.

[problem_fucker]

Да, n=2, не 1.
Но нещо не разбирам - сигурно проблем със браузъра ми.
Ето цитат на това което виждам:
"Първото е лесно:
Нека p-q=n. Тогава от условието следва, че p+q=n^3.
Следователно 2q=n^3-n=(n-1)n(n+1) - три последователни естествени числа => 2q се дели на 3 => q се дели на 3, но q е просто => q=3."

Сигурно втората част на решението се е загубила по пътя...

[Titu_Andrescu]

Доказвам, че q=3. И сега трябва да намерим p: (p-q)^3=p+q, (p-3)^3=p+3, p е естествено. Аз просто намирам q и спирам да пиша, защото на там вече е лесно.

[Titu_Andrescu]

Казвам, че р е естествено, защото можем да намерим всички такива р естествени и после само да проверим дали са прости.

[Мирослав Стоенчев]

p³-q⁵=(p+q)²

Р-е:Ясно е че p>q, но p>q+1 понеже (3,2) не е р-е. Тогава p>=q+2, нод(p,q)=1.
p(p²-p-2q)=q²(1+q³) Така получаваме:
1) p дели q²-q+1 и 2) q² дели p²-p-2q.
Т.е. q дели p-1, --> p=kq+1, k-естествено число.Заместваме в 2) и получаваме 3) q дели k-2, т.е. k=tq+2, тук t e неотрицателно цяло число. Значи p=kq+1=tq²+2q+1
и съгласно 1) t=0. Така p=2q+1 дели q²-q+1.Последователно получаваме
4(p²-p-2q)=(2q+1)²-(8q-3)
2q+1 дели 8q-3,така 2q+1 дели 7, т.е. q=3,p=7.Но 7³-3⁵=(7+3)², така (p,q)=(7,3)

p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)

1) p(p+1)=(n-q)(n+q+1)
2) q(q+1)=(n-p)(n+p+1)

1сл. p=q
Aко p дели n, то понеже n>p --> n>=2p --> q(q+1)<(n-p)(n+p+1) - противоречие.
Значи p дели n+p+1, т.е. n=tp-1, t>=2.Полу1аваме
p+1=[(t-1)p-1](t+1) --> t=2 --> p=2.Taka (p,q,n)=(2,2,3).

2сл. q>p
--> q>=p+2, понеже (2,3) не е решение.
Ако q<=n-p --> q+1<=n-p+1 --> q(q+1)<(n-p)(n+p+1)
Значи q>n-p --> q дели n+p+1, т.е. n=kq-p-1.
Aналогично поради p>n-q --> p дели n+q+1=(k+1)q --> p дели k+1, т.е. к=tp-1, t -естествено число. Заместваме в 1) и получаваме p+1=(tq-1)[(tp-2)q-p-1].
Ако q>p+2 или t>1, то p+1<(tq-1)<=(tq-1)[(tp-2)q-p-1]. Значи t=1, q=p+2 и (tp-2)q-p-1=1. Получихме p²-p-6=0 --> p=3,q=5,n=6.
Окончателно (2,2,3), (3,5,6).