Планиметрична задача!

[estoyanovvd]

Ха сега да видим кандидатстудентите ще ги бъде ли!!!
Перпендикулярът е към ВС, не към АВ, естествено!!!

[Реклама]

[Zlatinster]

Перпендикуляр към BC нали ?

[Tony_89]

[tex]S_{ABC} = S_{ADC} + S_{BDC} = \frac{DN.b}{2} + \frac{DM.a}{2} = 2b + \frac{3a}{2} = 2b + \frac{3.48}{2.b} = \frac{2b^{2} + 72}{b}[/tex]

[tex]S_{ABC} = \frac{ab.sin\gamma}{2} = 24.sin\gamma = \frac{2b^{2} + 72}{b}[/tex]

[tex]sin\gamma = \frac{2b^{2} + 72}{24b} =>[/tex]

[tex]=> \frac{2b^{2} + 72}{24b} \le 1[/tex]

[tex]2b^{2} - 24b + 72 \le 0 /:2[/tex]

[tex]b^{2} - 12b + 36 \le 0[/tex]

[tex](b - 6)^{2} \le 0[/tex]

[tex]b = 6[/tex]

[tex]sin\gamma = \frac{2.6^{2} + 72}{24.6} = 1 => \gamma = 90^\circ[/tex]

[tex]a = \frac{48}{6} = 8[/tex]

[tex]c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10[/tex]

[Zlatinster]

Защо се пише ...≤1

и как разбра че sinγ=90°?

[ганка симеонова]

чудесно решение, тони

[steliyan]

≤1, защото това е синус, а той приема стойности само в интервала [-1;1], но за да е отрицателен ъгъла трябва да е по-голям от 180°, а ние имаме триъгълник.

[savage309]

[estoyanovvd]

Ето ви сега една друга задачка със същия чертеж!

Нека точка D е вътрешна за страната АВ на триъгълника АВС, а DM и DN са перпендикуляри съответно към страните ВС и СА на триъгълника(M [tex]\in[/tex] BC, а N [tex]\in [/tex] CA). Докажете, че за триъгълника DMN е изпълнено [tex] S_{\Delta DMN}\le\frac{1}{ 4}S_{\Delta ABC}. [/tex]

[estoyanovvd]

[Tony_89]

[tex]\angle MDN = 180^\circ - \gamma[/tex]

[tex]sin\angle MDN = sin\gamma[/tex]

[tex]S_{MDN} = \frac{DN.DM.sin\angle MDN}{2} = \frac{DN.DM.sin\gamma}{2}[/tex]

[tex]\frac{DN.DM.sin\gamma}{2} ?\le \frac{1}{4}.S_{ABC}[/tex]

[tex]\frac{DN.DM.sin\gamma}{2} ?\le \frac{1}{4}.\frac{ab.sin\gamma}{2}[/tex]

[tex]DN.DM ?\le \frac{ab}{4}[/tex]

[tex]sin\alpha = \frac{DN}{AD}, sin\beta = \frac{DM}{BD}[/tex]

[tex]DN = AD.sin\alpha, DM = BD.sin\beta[/tex]

[tex]DN.DM = AD.BD.sin\alpha.sin\beta[/tex]

[tex]AD.BD.sin\alpha.sin\beta ?\le \frac{ab}{4}[/tex]

[tex]AD.BD ?\le \frac{ab}{4.sin\alpha.sin\beta}[/tex]

[tex]AD.BD ?\le \frac{1}{4}.\frac{a}{sin\alpha}.\frac{b}{sin\beta}[/tex]

[tex]AD.BD ?\le \frac{1}{4}.2R.2R[/tex]

[tex]AD.BD ?\le R^{2}[/tex]

[tex]AD.BD = AD.(AB - AD) = -AD^{2} + AB.AD \le - (\frac{AB}{2})^{2} + \frac{AB^{2}}{2} = \frac{AB^{2}}{4}[/tex]

Произведението на AD и BD има максимална стойност при AD = BD.

[tex]\frac{AB^{2}}{4} ?\le R^{2}[/tex]

[tex]AB^{2} ?\le 4.R^{2}[/tex]

Това равенство се достига при AB = 2R, т.е. при γ = 90°.

[savage309]