Уравнение от втори ред

[Relinquishmentor]

[tex]\frac{d^2S(t)}{dt^2} = \frac{A}{(B + S(t))^2} [/tex]

[Реклама]

[Mister ABC]

Разгледай t като функция на S.
(dt^2/dS^2)= ((B+S(t))^2)/A
Сега можеш да интегрирасш два пъти.

[Mister ABC]

Извинявам се за безмисленото (и невярно) съобщение което ви изпратих. Аз съм още новак и имам проблеми с въвеждането на формулите. Макар че тук ще се опитам да оправя нещата, не съм сигурен дали ще успея. Ето защо реших да изпратя две нови съобщения - в първото ще коментирам малко проблема и ако всичко върви нормално ще ви изпратя второ с решението.

Уравнвнието
[tex]\frac{d^2S}{dt^2 } =\frac{A}{(B+S(t))^2 } [/tex]
идва явно от класическата механика - трябва да се намери изминатото разстояние (пътя) по зададено ускорение.
Константата B в знаменателя е напълно излишна - с помощта на субституцията

U(t)=B+S(t) ; [tex]\frac{d^2U}{ dt^2}=\frac{d^2S}{dt^2 }[/tex] уравнението се свежда до [tex]\frac{d^2U}{ dt^2} =\frac{A}{U^2(t) }[/tex]

Съвсем не така стоят нещата с константата А. Ако тя е нула уравнението се интегрира непосредствено и резултатът е [tex]S(t)=v_0t+x_0[/tex] т.е. става дума за равномерно праволинейно движение с начална скорост [tex]v_0[/tex] и [tex]x_0=S(0)[/tex].
След като изключим този тривиален случй т.е. приемем че А[tex]\ne 0[/tex] стигаме до обикновено диференциално уравнение от втори ред, в което липсва независимата прменлива т.е. редът му може да бъде понижен с единица. Рубриката "Диференциални уравнения" изобилствува с такива примери, но аз искам да ви обърна вниманието на един друг факт. Във всеки учебник по механика вие можете да намерите уравнението
[tex]\frac{d^2S}{dt^2 } =\frac{A}{S^3(t) } [/tex] с начални условия
[tex]S(0)=x_0[/tex] и [tex]S'(0)=v_0[/tex] решението на което е [tex]S(t)=\pm \sqrt{\frac{A}{ x_0^2}t^2+(v_0t+x_0)^2 } [/tex]. Ако вместо [tex]t=0[/tex] вземете [tex]t=t_0[/tex] (както при А=0 така и при А[tex]\ne 0[/tex]) нещата се обобщават, но също така безмислено се комплицират.
Онова което в случя е съществено е че вие получавате решението в ЯВЕН вид т.е. имате [tex]S(t)=...[/tex] нещо което не е измежду най-често срещаните явления при диференциалните уравнения.
Вашето уравнение [tex]\frac{d^2S}{dt^2 } =\frac{A}{(B+S(t))^2 } [/tex] изглежда на пръв поглед по-просто понеже степента на знаменателя от дясно е 2 т.е. е по-ниска. Въпреки този факт обаче, уравнението което е разрешимо в квадратури е такова, че решението му задава [tex]S(t)[/tex] в НЕЯВЕН вид.
Независимо от тъпото първо съобщение което ви изпратих в него поне това е вярно, че [tex]t[/tex] времето ( или независимата променлива) може да се изрази явно чрез [tex]S[/tex]. Ако всичко мине нормално тази вечер ще ви изпратя решението. Оше веднъж се извинявам за първия си тъп отговор.

[Mister ABC]

В уравнението
(1) [tex]\frac{d^2S}{ dt^2} =\frac{A}{ (B+S(t))^2} [/tex], за което предполагаме А[tex]\ne 0[/tex] правим субституцията
(2) [tex]u(t)=S(t)+B[/tex] в резултат на което получаваме уравнението
(3) [tex]\frac{d^2u}{ dt^2} =\frac{A}{ u^2} [/tex], което е от втори ред и в което липсва независимата променлива t. Правим субституцията
(4) [tex]u'_t=z(u)[/tex], от където [tex]u''_t=z'_uu'_t[/tex] в резултат на което стигаме до уравнението с разделени променливи [tex]z'z=\frac{A}{u^2 } [/tex], което след интегрирането ни дава [tex]\frac{z^2}{2 } =-\frac{A}{ u} +C^*[/tex] т.е. [tex]z=u'=\pm \sqrt{\frac{Cu-2A}{u } } [/tex], където [tex]C=2C^*. [/tex]Последното уравнение е с разделящи се променливи и за да го интегрираме го записваме във вида
(5) [tex]\sqrt{\frac{u}{ Cu-2A} } du=\pm dt[/tex]

A) C[tex]\ne 0 [/tex]Тогава от (5) получаваме [tex]\frac{1}{\sqrt{C}} \sqrt{\frac{u}{ u-\frac{2A}{C } } } du=\pm dt[/tex]. За опростяване на записа полагаме [tex]-\frac{2A}{ C} =\alpha [/tex] или [tex]\sqrt{\frac{u}{u+\alpha } } du=\pm \sqrt{C}dt[/tex]. За да интегрираме лявата страна правим субституцията [tex]\frac{u}{ u+\alpha }=w^2 [/tex], от където [tex]u=\frac{\alpha w^2}{ 1-w^2} [/tex] и [tex]du= 2\alpha \frac{w}{ (1-w^2)^2}dw [/tex]. Тогава [tex]\int_{}^{ } \sqrt{\frac{u}{u+\alpha } }du=2\alpha \int_{}^{ } \frac{w^2}{(1-w^2)^2 }dw=\alpha \int_{}^{ } wd\frac{1}{ 1-w^2} =\alpha (\frac{w}{1-w^2 } -\int_{}^{ } \frac{dw}{1-w^2 }) =\alpha (\frac{w}{ 1-w^2}-\frac{1}{2}ln|\frac{1+w}{1-w }|) [/tex]. Дясната страна се интегрира непосредствено. Заместваме [tex]w=\sqrt{\frac{u}{u+a } } [/tex] и след досадни, но елементарни преобразувания, получаваме

[tex]\sqrt{u(u+\alpha) } -\frac{\alpha }{2 } ln|2u+\alpha +2\sqrt{u(u+\alpha )}|=\pm \sqrt{C}t+C_1[/tex].

Последната стъпка, която трябва да извършим е да заместим съгласно субституцията (2) [tex]u(t)=S(t)+B[/tex] и [tex]\alpha=-\frac{2A}{ C} [/tex]. Отново след елементарни преобразувания стигаме до общото решение на (1), което е

[tex]\sqrt{(CS+CB)(CS+(BC-2A))}+Aln|CS+(BC-A)+\sqrt{(CS+CB)(CS+(BC-2A))}|=\pm C\sqrt{C} t+C_1[/tex]

В последното равенство [tex]C[/tex] и [tex]C_1[/tex] са интеграционните константи, а [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са константите фигуриращи в дясната част на (1). От последното равенство се вижда, че независимата променлива t може да се определи явно като функция на S, докато S се определя от това равенство НЕЯВНО.

B) C[tex]=0[/tex]
В този случй не можем да очкваме, че общото решение ще зависи от две константи тъй като условието C[tex]=0[/tex] свързва началните данни с константите, които фигурират в условието (в конкретния случай само с константата А). По-точно ако заедно с уравнението (1) [tex]\frac{d^2S}{ dt^2} =\frac{A}{ (B+S(t))^2} [/tex] са дадени и началните условия [tex]S(0)=u_0 ; S'(0)=v_0[/tex] то от израза [tex]\frac{z^2}{2 } =-\frac{A}{ u} +C^*[/tex] при [tex]t=0[/tex] получаваме [tex]v_0^2+\frac{2A}{u_0} =C[/tex], което при С=0 дава [tex]v_0^2+\frac{2A}{u _0} =0[/tex] т.е. едната от трите константи [tex]A[/tex], [tex]u_0[/tex] и [tex]v__0[/tex] е функция на останлите две. От (5) при с=0 имаме [tex]\sqrt{u} du=\pm \sqrt{-2A} dt[/tex], което след интегриране ни дава [tex]u=\sqrt[3]{(\pm \frac{3}{2 }\sqrt{-2A}t+K)^2 }[/tex] или окончателно

[tex]S(t)=\sqrt[3]{(\pm \frac{3}{2 }\sqrt{-2A}t+K)^2 }-B[/tex] (т.е. А трябва да е отрицателно). Последното равенство дефинира еднопараметрична фамилия криви зависвща от К, но тя има това предимство пред двупараметричната (С[tex]\ne 0[/tex]), че търсената функция е представена ЯВНО.