СН = 2.ОМ

[Mulen]

Даден е триъгълник АВС .
т.О - център на описаната окръжност около триъгълника
т.Н - ортоцентър
т.М - среда на АВ
Докажете че : СН = 2.ОМ

Благодаря предварително ! Ако може пълно решение и чертеж със знанията за 8-ми клас .

[Реклама]

[r2d2]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4119

[Mulen]

Неможах да го разбера ! Моля малко по-простичко . Благодаря !

[martosss]

Понеже Р и М са среди на АС и АВ, то РМ е средна отсечка за АВС и РМ=ВС/2 и РМ||ВС.
Освен това това О и Р са точки от симетралата на АС => OP[tex]\:\bot [/tex] AC, но ВН е височина към АС и също е перпендикулярна на АС => OP||BH
от червените изрази следва, че ъгъл МРО и ъгъл НВС имат взаимноуспоредни рамена => са равни
освен това О и М са части от симетралата на АВ => [tex]OM\bot AB[/tex], но и СН[tex]\bot[/tex]АВ => ОМ||СН
получихме, че ъглите ОМР и НСВ имат успоредни рамена и то тук са равни.
от тук триъгълниците МОР и СНВ са подобни по първи признак(2 ъгъла) и от тук ОМ/СН=МР/ВС=1/2

[ганка симеонова]

пускам решение, защото бях помолена да реша задачата със знания за 8 клас
а подобни триъгълници се изучават в 9 клас

[tex]OM\in S_{AB}=>OM\bot AB [/tex]
[tex]OP\in S_{AC}=>OP\bot AC =>MP[/tex]-средна отсечка в [tex]\Delta ABC =>MP//CB; MP=\frac{1}{ 2}CB [/tex]
[tex]CC_{1}\bot AB =>OM//CC_{1} [/tex]

построявамe NQ- средна отсечка в HBC => [tex]NQ=\frac{1}{ 2}CH [/tex]=>
[tex]NB=MP [/tex]

[tex]\angle QNB=\angle OMP [/tex]

[tex]\angle QBN=\angle OPM [/tex]- ъгли с взаимно успоредни рамене от един и същи вид =>

[tex] \Delta OPM [/tex]еднакъв на [tex]\Delta QBN [/tex] по 2-ри признак=>

[tex]OM=NQ=\frac{1}{ 2} CH [/tex]

[martosss]

хаха, и понеже не се учат подобни, нека си направим еднакви Хитро !

[Пафнутий]

Доказателство:
Нека [tex]AA_{1}[/tex] и [tex]CC_{1}[/tex]-височини.Очевидно ще се пресичат в точка [tex]H[/tex](ортоцентър). От M-среда на AB, следва, че [tex]OM \bot AB[/tex] (диаметър разполовяващ хорда), но и [tex]CC_{1}[/tex] също е перпендикулярна (височина), откъдето [tex]CC_{1}[/tex] е успоредна на [tex]OM[/tex] [tex](1)[/tex]. Продължаваме [tex]CO[/tex], която да пресича окръжността в точка [tex]F[/tex] (точка О е между C и F). За да докажем равенството [tex]2OM=CH[/tex], ще докажем, че [tex]OM[/tex] e средна отсечка в [tex]\Delta CHF[/tex], за което трябва да докажем, че [tex]HF[/tex] преминава през точка [tex]M[/tex].Това е доказано на страница 230 в учебника за 8клас на „Архимед” и се използва като основна задача.Вече знаем, че точките H,M,F лежат на една права и, че [tex]CC_{1}[/tex] е успоредна на [tex]OM[/tex] от [tex](1)[/tex]. Но от [tex]CF[/tex]-диаметър, следва, че [tex]CO=OF[/tex]-радиуси и от успоредността на [tex]CC_{1}[/tex] и [tex]OM[/tex], следва, че [tex]OM[/tex] e средна отсечка в [tex]\Delta CHF[/tex], с което твърдението е доказано.

[Mulen]

Благодаря много на всички които се отзоваха !

[ганка симеонова]

стенс, кой клас си?
защото и аз преподавам по учебника на паскалеви, ноооо

[Пафнутий]

8 клас съм Виж, че съм записал в учебника на "Архимед", а не Паскалеви

[ганка симеонова]

да, но на учебника на "Архимед" автори са Паскалеви