Подобни триъгълници

[Eragon300]

Здравейте Математици,
имам проблем с б) и в) подточки на тази зада4а, ще съм благодарен ако ми помогнете.


Триъгълникът АВС с ъгли Бета и Гама съответно при върховете В и С е
описан около окръжност к с радиус r.
а) Пресметнете страната ВС
б)Триъгълникът А1В1С1 е вписан в окръжността к и е подобен на триъг. АВС,като АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1=ламбда
Нека <ВАС=60. Изразете cos(Beta-60)като функция на ламбда.
в) При условията от задание б) докажете, че ламбда>=2.
За кои стойности на ламбда триъг. АВС е тъпоъгълен

[Реклама]

[Tony_89]

а)

Нека k да е с център O и да се допира до BC в точка N.
Нека <ABC = b, <ACB = j.
tg(b/2) = ON/BN = r/BN
BN = r/tg(b/2) = cos(b/2)*r/sin(b/2)
Аналогично CN = cos(j/2)*r/sin(j/2)
cos(j/2)/sin(j/2) = cos(j/2)^2/(sin(j/2)*cos(j/2)) = 2*cos(j/2)^2/sin(j) = = (cos(j) + 1)/sin(j)
Аналогично cos(b/2)/sin(b/2) = (cos(b) + 1)/sin(b) =>
=> BN = (cos(b) + 1)*r/sin(b), CN = (cos(j) + 1)*r/sin(j)
BC = BN + CN = r*((cos(b)+1)/sin(b) + (cos(j)+1)/sin(j)) =
= r*(sin(b)*cos(j) + sin(b) + sin(j) + sin(j)*cos(b))/(sin(b)*sin(j))

б)

Нека <ABC = b, <ACB = j.
<BAC = 60* =>
=> j = 120* - b
От формулите за умножение и събиране на cos и sin =>
=> sin(b)*cos(j) = (SQRT(3) + 2*sin(2*(b – 60*)))/4
sin(b) + sin(j) = SQRT(3)*cos(b – 60*)
sin(j)*cos(b) = (SQRT(3) - 2*sin(2*(b – 60*)))/4
sin(b)*sin(j) = (2*cos(2*(b – 60*)) + 1)/4 =>
=> BC = r*(sin(b)*cos(j) + sin(b) + sin(j) + sin(j)*cos(b))/(sin(b)*sin(j))
= SQRT(3)*r*(2 + 4*cos(b – 60*))/(2*cos(2*(b – 60*)) + 1)
тр. ABC ~ тр. A1B1C1 => <B1A1C1 = <BAC = 60*
тр. A1B1C1 е вписан в k =>
=> B1C1/sin(60*) = 2*r
B1C1 = SQRT(3)*r
BC/B1C1 = λ
(SQRT(3)*r*(2 + 4*cos(b – 60*))/(2*cos(2*(b – 60*)) + 1))/(SQRT(3)*r) = λ
4* λ*cos(b – 60*)^2 – 4*cos(b – 60*) – λ – 2 = 0
cos(b – 60*) = (λ + 2)/(2* λ) или cos(b – 60*) = -1/2
b E (0;2*п/3) => b – 60* E (-п/3;п/3) => cos(b – 60*) Е (1/2;1] =>
=> cos(b – 60*) = (λ + 2)/(2* λ)

в)
cos(b – 60*) Е (1/2;1]
(λ + 2)/(2* λ) E (1/2;1]
λ E [2;+ ∞)
b E (0;2*п/3) => тр.ABC е тъпоъгълен при тези два случая:
|b E (0;п/6)
|b E (0;2*п/3)
(тогава j е тъп)
и
|b E (п/2;п)
| b E (0;2*п/3) т.е. b E (0;п/6) или (п/2;2*п/3) =>
=> b – 60* E (-п/3;-п/6) или (п/6;п/3) =>
=> При cos(b – 60*) E (1/2;SQRT(3)/2) тр. ABC е тъпоъгълен
(λ + 2)/(2* λ) E (1/2;SQRT(3)/2)
λ E (SQRT(3) + 1;+ ∞)

[Tony_89]

в а) без да искам съм доказвал формулата за cotg(a/2)

[Tony_89]

намерих по-просто решение:
за а):
оставяме BC = r*(cotg(b/2) + cotg(j/2)) =
=r*(cos(b/2)*sin(j/2) + cos(j/2)*sin(b/2))/(sin(b/2)*sin(j/2))
cos(b/2)*sin(j/2) + cos(j/2)*sin(b/2) = sin((b+j)/2) =
= sin((180*-a)/2) = sin(90* - a/2) = cos(a/2)
BC = r*cos(a/2)/(sin(b/2)*sin(j/2))
за б):
тук j = 120* - b =>
=> sin(b/2)*sin(j/2) = sin(60* - b/2)*sin(b/2) =
= (cos(60* - b/2 - b/2) - cos(60* - b/2 + b/2))/2 =
= (cos(60* - b) - cos(60*))/2 =
= (2*cos(b - 60*) - 1)/4 (cos(-a) = cos(a))
cos(a/2) = cos(30*) = SQRT(3)/2
BC = 2*SQRT(3)*r/(2*cos(b - 60*) - 1)
B1C1 = SQRT(3)*r
BC/B1C1 = λ
2/(2*cos(b - 60*) - 1) = λ
2 = 2*λ*cos(b - 60*) - λ
cos(b - 60*) = (λ + 2)/(2*λ)

[Lubo]

Здравейте всички,

Тази задача... не можах да намеря за нея хитро (едноходово) решение.

Може би няма такова.

На диаграмата по-долу червената крива изобразява геометричното място на точки (възможните места) на центъра на хомотетия (центърът спрямо, който АВС се преобразува в А1В1С1) за всички различни положения на върха 'С' (върху лъча сключващ 60о със страната АВ).

Това е една доста 'неприятна' крива. Точката 'H', например, изобразява центъра на хомотетия за конкретното положение на точката 'С' както е в момента на диаграмата.

Това ме кара да си мисля, че тази задача вероятно няма 'хитроумно' решение.

Това е, може би, типична задача за изпит или начален кръг на олимпиада, с която авторите биха искали да тестват широк спектър от знания по математика, но не и нестандартно мислене.

Може и да не съм прав. Може и да има 'красиво' решение, което да ми убягнало.

По-долу (на диаграмата) е моето рутинно решение. Рутинно, макар и изискващо/използуващо разнообразни знания по математика.



Любо

[Tony_89]

Lubo, защо за λ в в) включваш и стойността SQRT(3) + 1

[Lubo]

Здравей Тony,

Ако b/c = 2 (тогава ъгъл В е 90о) и ламбда = sqrt(3) + 1.
Ако b/c = 1/2 (тогава ъгъл С е 90о) и ламбда = sqrt(3) + 1.

Ако b/c > 2, ъгъл В е по-голям от 90о.
Ако b/c < 1/2, ъгъл С е по-голям от 90о.

Тony, как пишеш гръцки букви, да речем 'ламбда' във форума. Също, не знам как мога да пиша индекси и степени а съм виждал много хора да го правят?

Любо

[Tony_89]

Аз те попитах, защото за λ = SQRT(3) + 1 единият от двата ъгъла е прав ама ти си го включил в решението на задачата, където се пита кога ABC е тъпоъгълен.
А по отношение на λ и другите гръцки букви просто ги копнах от Word .

[Tony_89]

От Excel обърках се

[Lubo]

Tony, най-напред - благодаря за подсещането за Excel/Word.

Сега 'интересното развитие':

Едно интересно нещо за кривата на геометричното място на центровете на хомотетия. Вижте чертежа по-долу.

Изглежда, че когато ъгъл 'С' стане 90о, центърът на хомотетия 'Н' е в точката, в която кривата (червената крива) си сменя кривината. Наляво от тази точка, кривата има положителна кривина (с форма като чаша), надясно от нея, кривата има отрицателна кривина (като купа сено). Точно в тази точка, кривата остава непрекъсната, но няма производна!

Това обаче не се случва (смяна на кривината) в другата точка (няма я на чертежа), когато точката 'С' се придвижи нагоре и надясно по лъча, сключващ 60о с 'АВ' и ъгъл 'В' стане 90о!!!

Това не съм го доказал - но изглежда така от чертежа и вероятно е факт. Чертежът е направен със софтуера Geоmeter's Sketchpad, и много често предположения направени с негова помощ се оказват верни.

Може би си струва да опитате/ме да го докажем.



Любо

[M_Velinova]

Vel

[Lubo]

Здравей Vel!

Как си?
Аз отдавна се съм имал възможност да се включа във форума. Днес намерих някоя и друга свободна минута, но Internet-ът ми прави номера. Скоро си смених Internet-provider-a (уж с по-добър) и връзката ми ужасна. Нямам време да им се обадя да го оправим.

Заради тази лоша вразка, не можах да отворя картинката в твоето съобщение. Най-вероятно ти там предлагаш (както винаги) нещо интересно.

Ще опитам някой друг ден...

Любо