LVII Олимпиада по Математика Национален Кръг 2008

[Saposto_MM]

Тема за 7 клас

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа n, за които числото 4ⁿ+5ⁿ+7ⁿ е точен квадрат на естествено число.
Задача 2. През фиксирана точка O от вътрешността на даден ъгъл с връх A е построена произволна права g, пресичаща раменете на ъгъла в точки B и C. Ако S_OAB и S_OAC са лицата съответно на триъгълниците OAB и OAC, да се докаже, че сумата [tex]\frac{1}{S_{OAB}}+\frac{1}{S_{OAC}}[/tex] не зависи от избора на правата g.
Задача 3. В шампионат по хандбал участват n отбора от различни градове. Всеки ден два от отборите гостуват на трети отбор, играят по един мач с него, както и по един мач помежду си (мачове "на неутрален терен"). В това време останалите отбори почиват. При приключване на шампионата всеки отбор трябва да е бил домакин еднакъв брой пъти, като всеки два отбора трябва да са играли точно един мач помежду си. Определете най-малката стойност на n.

Тъй като в темата за осми клас не казах много, тук ще дам малко информация.
Състезанието се проведе на 17 май за 7-ми и 8-ми клас. Времетраенето беше 4 часа. Обстановката на състезанието беше много интересна, оживена. Догодина ще направя всичко възможно пак да се класирам за 3-ти кръг. В 9-ти клас задачите са еднакви за 9-ти и 12-ти клас и състезанието би ми било още по-интересно (макар, че може да не реша нищо).

[Реклама]

[raliicgomg]

Някой може ли да постне решенията?

[martosss]

ето какво се сещам за 2-рата... ако означим височините от О до АВ и АС със [tex]h_1,\: h_2,\: AO=a[/tex], знаем, че О е фиксирана,
тоест [tex]h_1,\: h_2,\: AO,\: \angle BAC=const[/tex] то [tex]\frac{1}{S_{OAB}}+\frac{1}{S_{OAC}}=\frac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{AOB}*S_{AOC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}*S_{AOC}}[/tex]

тук идва тънката част... 8-ми клас не учат, че [tex]S_{ABC}=\frac{AC*AB*sin\angle BAC}{2}[/tex], ако използваме това получаваме за горното
[tex]\frac{\frac{\cancel {AC*AB}*sin\angle BAC}{\cancel 2}}{\frac{\cancel {AC}*h_1*\cancel {AB}*h_2}{\cancel 4}}=\frac{2sin\angle BAC}{h_1*h_2}=const[/tex]

П.П. ако искаш мога да ти обясня накратко откъде идва тази формула, то е все едно да спусна примерно от върха С височина СН и да докажа че отношението СН/АС=const независимо от избора на точка С върху [tex]\vec{AC}[/tex]
Това е така, защото ако пусна височина някъде другаде то двата триъгълника стават подобни и това отношение се запазва на чертежа примерно имаш че ▲АНС≈▲APK и от тук отношението срещулежащ катет/хипотенуза за ъгъл ВАС се запазва казано с други думи ако К е произволна пресечна точка на g със АС и КН - височина към АВ, то [tex]\frac{HC}{AC}=\frac{PK}{AK} => S_{\Del ABC} = \frac{AB*CH}{2}=\frac{AB*AC*\frac{CH}{AC}}{2}[/tex] по-горе отношението [tex]\frac{CH}{AC}[/tex] образно казано съм го кръстил [tex]sin\angle BAC[/tex] и то е константа, иначе ти примерно като осмокласник може да докажеш, че това отношение е константа и да го употребиш както съм направил в този послепис Ако нещо не е ясно моля те пиши, за да го обясня, защото мога и по-добре, но просто сега го написах много разбъркано

[martosss]