три задачи

[rytimid]

[tex] sin3x.sinx+sin3x.sin2x=cos( \frac{3x}{2} ) . cos( \frac{x}{2} )[/tex]

[tex] sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin3x [/tex]

[tex] \sqrt{3}.sin3x.cosx=2-sin3x.sinx [/tex]

[Реклама]

[rytimid]

решенията:
------------
първата:

[tex] sin3x.sinx+sin3x.sin2x=cos(\frac{3x}{2})cos(\frac{x}{2}) [/tex]

[tex] sin3x(sinx+sin2x)=cos(\frac{3x}{2})cos(\frac{x}{2}) [/tex]

от формулите [tex] sin\alpha + sin\beta =.......[/tex]

[tex]sin3x.sin(\frac{3x}{2})cos(\frac{x}{2})=cos(\frac{x}{2})cos(\frac{3x}{2}) [/tex]

пада и [tex] cos(\frac{x}{2})=0 [/tex] е решение

[tex] sin3x=\frac{cos(\frac{3x}{2})}{sin(\frac{3x}{2})} [/tex]

[tex] 2sin(\frac{3x}{2})cos(\frac{3x}{2})=\frac{cos(\frac{3x}{2})}{sin(\frac{3x}{2})} [/tex]

вече е лесно [tex] sin^{2}(\frac{3x}{2})=\frac{1}{2} [/tex]......

-------

втората:

от формулата:

[tex] cos\alpha + sin\alpha =....... [/tex]

[tex] \sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}-2x)=\sqrt{2}sin3x [/tex]

[tex] cos(\frac{\pi}{4}-2x)=cos(\frac{\pi}{2}-3x) [/tex]

[tex] \frac{\pi}{4}-2x=\frac{\pi}{2}-3x+2k\pi [/tex].......

------------

[martosss]

Ето ти една бегла идея по третата:
[tex] \sqrt{3}.sin3x.cosx=2-sin3x.sinx [/tex]
[tex]sin3x(\sqrt{3}cosx+sinx)=2\; /:2[/tex]
[tex]sin3x(\underbrace{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{sin60}cosx+\underbrace{\frac{1}{2}}_{cos60}sinx)=1[/tex]

[tex]sin3x*sin(60+x)=1[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}sin3x=1\\sin(60+x)=1 \end{tabular}\: \cup \: \begin{tabular}{|l}sin3x=-1\\sin(60+x)=-1 \end{tabular}[/tex](това второто сега ми дойде на ум )

[tex]\begin{tabular}{|l}3x=90+2k\pi \\60+x=90+2k\pi \end{tabular}\: \cup \: \begin{tabular}{|l}3x=-90+2k\pi\\60+x=-90+2k\pi \end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}x=30+\frac{2}{3}k\pi\\x=30+2k\pi \end{tabular}\: \cup \: \begin{tabular}{|l}x=-30+\frac{2}{3}k\pi\\x=-30+2k\pi \end{tabular}[/tex]

[tex]k=0\Right x=30^\circ \: \cup \: k=0\Right x=-30^\circ[/tex]

[martosss]

Ето и по втората:
[tex]sin(2x)+cos(2x)=2*sin[/tex][tex]\left(\frac{2x+2x}{2 }\right)* cos[/tex][tex]\left(\frac{2x-2x}{2}\right)=2sin(2x)*cos0=4sinxcosx=\sqrt{2}(3sinx-4sin^3x)[/tex]
[tex]sin[/tex][tex]x(4cosx-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}sin^2x)=0[/tex]
[tex]sinx(4cosx-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4\sqrt{2}cos^2x)=0[/tex]
[tex]sinx(4cos^2x-2\sqrt{2}cosx-1)=0[/tex]
[tex]sinx=0\cup D=24[/tex]
[tex]x=90+k\pi\cup cosx_{1,2}=\frac{2\sqrt{2}\pm 2\sqrt{6}}{8}=\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{6}}{4}[/tex]
Сега аз си лягам, а на теб ти остана да видиш кога cosx=0 и да изчислиш за х какво се получава впрочем може и да имам някъде грешка, тъй че поправяй ако видиш нещо нередно

[rytimid]

за 2та чак ме хвана яд, че не съм се усетил за формулата, а за 3та ме притеснява, че може да съществуват още решения, как ще се докаже, че не съществува такова x, че да удолетворява:

[tex] sin3x=\frac{1}{sin(60-x) [/tex]

[martosss]

Съжелявам, лог. у-я не сме учили още, 10-ти клас съм, но като ги гледам тия задачи... не изглеждат трудни, лошото е че не съм назубрил формулите и само справочника разгръщам(има един даскал в училище дето беше дал да напишат формулите по 2000 пъти )