9 СУ

[r2d2]

9. Дадена е правилна четириъгълна пирамида QABCD с връх Q. Ъгълът между околния ръб CQ и равнината BDQ е 30. През върха A е построена α, перпендикулярна на ръба CQ.

Намерете тангенса на ъгъла между α и равнината QAB.

[Реклама]

[b1ck0]

Пирамидата триъгълна или четириъгълна е ?

[nikolavp]

[chuhoveca]

Аз не я реших, защото не можах да доначертая целия чертеж и да видя този търсен ъгъл къде се намира и как...Някой ако може поне един чертеж да начертае ще съм му благодарен

[ганка симеонова]

линеният ъгъл, определен от [tex]((BDQ);CQ)=\angle \angle OQC=30^\circ [/tex]
=>[tex]\angle AQC=60^\circ =>\Delta AQC[/tex]- равностранен. ако означим страната на квадрата с а, то [tex]QC=AC=a\sqrt{2} [/tex]

[tex](ANMP)\bot CQ[/tex]

за да определим ъгъла, чийто тангенс търсим, определемя пресечницата на

[tex](ANPM)\cap (ABQ)=AN [/tex]

построяваме перпендикуляр от Р към АN- PT. PT- проекция на QT върху (ANPM) =>търсеният ъгъл е [tex]\angle PTQ=\alpha [/tex]

[tex]\Delta AQC[/tex]-равностранен, тогава [tex] AP=QO=AC\frac{\sqrt{3} }{ 2}=\frac{a\sqrt{6} }{2 } [/tex]

[tex] AS=\frac{2}{ 3}AP; PS=\frac{1}{3 }AP [/tex]

[tex]MN=\frac{2}{3 } DB=\frac{2\sqrt{2}a }{3 } [/tex]
намираме лицето на [tex]\Delta APN=0,5AP.SN [/tex]
намираме от прав. триъгълник АSN, AN
и прилагайки пак формула за лице на същия триъгълник, намираме РТ.
прилагаме питагорова теорема за APQ и намираме PQ
тогава от правоъгълния триъгълник [tex] QPN=>tg\alpha =\frac{QP}{ PT}[/tex]

[chuhoveca]

Благодаря за решението, хубава задачка, само едно не ми е ясно - по какъв начин се намира това: MN=2/3DB=2√2a/3. Като гледам чертежа виждам че е вярно, но просто не знам техниката ,по която да го намеря

[ганка симеонова]

[tex]\Delta ACQ [/tex]- равностранен. AP,QO- медиани=>S- медицентър =>QS:QO=2:3

[chuhoveca]

това го знам. А как така от това следва че отсечката която минава през медицентъра и е успоредна на основата на равностранния триъгълник е равна на 2/3 основата, това не разбирам. Сигурно много глупав въпрос съм задал и имам пропуски в планиметрията. Примерно зная че средна отсечка е равна на 1/2 от хипотенузата, а в случая отсе4ката лежи на височината на разстояние 2/3 от върха към хипотенузата. Това ли е доказателството , 4е лежи на 2/3 от основата и е успоредна?

ААА сетих се , MN e 2/3 DB , защото малкия триъгълник е подобен на големия и са в отношение 2/3 . Явно ми е голям бъркоча в главата.

[ганка симеонова]

да, заради подобието..

[nelly89]

Не бях видяла,че има специална тема за 9-та задача и затова писах в друга тема
Аз използвах Херонова формула за намиране на лицата на 2 триъгълника и след това от формулата за лице между фигура и ортогоналната и проекция намерих косинус на ъгъла между равнините и след това изразих тангенса...и разбира се направих изчислителна грешка...Ето какво прави човек от отчаяние.Но аз съм доволна от себе си, защото все пак не се отказах от задачата, а другите ми изглеждаха по-трудни.Пък и сякаш доста хора не са я решили от това, което виждам по форумите.Все пак проверяващите са били благосклонни и са ми дали точки на задачата,може би от съжаление за гадните сметки, но просто нямах време да си ги поправя, въпреки че предадох последна от стаята.