Интересно параметрично неравенство

[uktc]

Изкефи ме тази задачка. Според мен си е достойна да се даде като 10та задача в СУ . Ето, опитайте и вие:
Да се реши неравенството , където "а" е параметър от реален тип.

[Реклама]

[vladimir]

Аз мисля, че първо трябваше да разгледаш няколко случая за стойността на параметъра а.
І Случай: х-а=0, тоест х=а; но на 0 не се дели.
Оттук следва, че неравенството няма решение.
ІІ случай: х-а да не е равно на 0. Оттук следва, че дробното неравенство е еквивалентно на (х+а)(х-а)-а2 по-малко от 0. От това квадратно неравенство получаваш, че решенията са в интервала от минус корен от 2 до плюс корен от две. Това решение се получава от решаването на уравнението х2=2а2. И като се коренува се получават плюс и минус корен от2.
ІІІ случай: х=а=0. Следователно оттук - неравенството няма решение.
За други случаи не се сещам. Не съм много наясно с тези параметрични непавенства. Мога да ги решавам, когато е във вид на множители.[/i]

[naitsirk]

аз получавам:
Ако [tex]a=1[/tex], [tex]x<1[/tex].
Ако [tex]a=-1[/tex], [tex]x>-1[/tex].
Ако [tex]a\in (-\infty ;-1\)[/tex], [tex]x\in (-\infty ;-\frac{a^3+a}{1-a^2 })\cup (a;+\infty )[/tex].
Ако [tex]a\in (-1;0)[/tex], [tex]x\in (a;-\frac{a^3+a}{1-a^2 })[/tex].
Ако [tex]a\in (0;1)[/tex], [tex]x\in (-\frac{a^3+a}{1-a^2 };a)[/tex].
Ако [tex]a\in (1;+\infty )[/tex], [tex]x\in (-\infty ;a)\cup (-\frac{a^3+a}{1-a^2 };+\infty )[/tex].
Ако [tex]a=0[/tex], Н.Р.


Накой друг да има отговор?

[mkmarinov]

a=0: няма решения.
Съкращаваме първата дроб на a; [tex]\frac{x}{a}=t[/tex]
[tex]\frac{t+1}{t-1}<a^2[/tex]
[tex]\frac{t+1-a^2t+a^2}{t-1}<0[/tex]
[tex]\frac{a^2t-t-(a^2+1)}{t-1}>0[/tex]
[tex](t-1)(a^2t-t-(a^2+1))>0[/tex]
[tex](t-1)((a^2-1)t-(a^2+1))>0[/tex]
-----
Отговорите ми са същите като на naitsirk, тази втора степен на положеното не знам откъде я извадих.

[naitsirk]

[ins-]

Когато бях в 8-клас бях съставил следната задача:
Да се реши в зависимост от реалния параметър a неравенството:
|x+1|/(|x|-1)>=a