Зад. 10 от СУ

[r2d2]

т. А(2а,0) (а>1), т.В лежи на графиката на [tex]f(x)=\frac{2x^2}{x^2-1}, \;x>1[/tex] и е такава, че ОВ=АВ (О(0;0)).
Докажете, че съществува единствена окръжност, която се допира до оста Ох в т. О и до всички прави АВ. Намерете радиуса й.

[Реклама]

[Nona]

Ето какво успях да измисля на изпита. Малко е дълго и грозно, но поне е вярно (надявам се).

Нека m е правата, минаваща през А и В.

[tex]m: y=kx+b \\ A(2a,0)\in m \Rightarrow 0=k.2a+b\Rightarrow b=-2ak \\ B\left(a, \frac{2a^2}{a^2-1}\right) \in m \Rightarrow \frac{2a^2}{a^2-1}=k.a+b \\ \frac{2a^2}{a^2-1}=k.a-2ak\Rightarrow k=\frac{-2a}{a^2-1} \\ \Rightarrow m:y=\frac{-2a}{a^2-1}.x+\frac{4a^2}{a^2-1} \\ C=AB\cap Oy \\ C\in m \Rightarrow y=\frac{-2a}{a^2-1}.0+\frac{4a^2}{a^2-1}, \ C\left( 0, \frac{4a^2}{a^2-1}\right) \\ AO=2a \\ CO=\frac{4a^2}{a^2-1} \\CA=\sqrt{AO^2+CO^2}=\frac{2a(a^2+1)}{a^2-1} \\ \frac{LO}{LC}=\frac{AO}{CA} \\ \frac{LO}{CO-LO}=\frac{AO}{CA} \\ LO=\frac{AO.CO}{AO+CA}=\frac{2a.\frac{4a^2}{a^2-1}}{2a.\frac{a^2+1+a^2-1}{a^2-1}}=2[/tex]

[ObsCure]

Много добро/вярно решение!