Зад. 7 от СУ

[r2d2]

За кои стойности на а, уравнението [tex]\sqrt{x-3} +ax = 2a+3 [/tex]има само едно решение?

[Реклама]

[2sxy4u]

Аз лично пробвах да реша графично задачата. Приятелката ми е повдигала на квадрат и т.н. и май е доста по-близо до вероятния верен отговор, но просто нищо на света не можеше да ме накара да вдигам това чудо на степен. Разгледах f(x)=√x-3 i
g(x)=-ax+2a+3 , но не ги разгледах май , май както трябва ...

[r2d2]

Eто една подобна задача
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=26260&highlight=#26260

[nikolavp]

Всъщност няма нищо общо, защото тая от линка се решава с разпределение на корени без много зор, докато тази си е бая по шантава...

ЕДИТ: Сега като видях как си я решил само мога да кажа браво и да съжалявам, че не я погледнах вчера

[Methuselah]

Ето тази е прилична задача

[ViRuS]

Тази си е сериозна задача.
Пробвах я чрез полагане и графика и го изкарвам че има единствено решение за

[tex]a \in [0,3]; a = 3 + \sqrt{10}[/tex]

Някой разполага ли с отговорът ?

[r2d2]

Идеята е, не да напишем отговорите или официалното решение, а да покажем (ПОКАЖЕТЕ) собствено решение.
Понякога и от грешно решение, човек може да научи много1!
(както и от вярно нищо да не научи

[ViRuS]

окей ще се опитам да го напиша

[evgeni91]

Имам въпрос!! това ли е идеятя за решаването на задачата или има и още нещо:
...след повдигането на квадрат се получава квадратно уравнение, което има единствено "x" при D=0, съобразяваме допустимите стойности и полученото у-е при D=0 и записваме решението за "x" в получения интервал за "a".\\?

[ViRuS]

[tex] \sqrt{x - 3} + ax = 2a + 3 [/tex]

[tex] \frac{\sqrt{x - 3} - 3 }{2 - x } = a[/tex]

Уравнението ще има точно един корен там където графиките на двете функции се пресичат само в една точка.

Полагаме:

[tex] \sqrt{x - 3} = t ; t \ge 0 ; => x = t^2 + 3 [/tex]

[tex] f(t) = \frac{3 - t}{t^2 + 1 } [/tex] дефинирана за [tex] t \in [0; +\infty ) [/tex]

Правим грубо изследване на функцията.Първата производна е:

[tex] f'(t) = \frac{t^2 - 6t - 1}{(t^2 + 1)^2 } [/tex]

и съответно се нулира при: (тук някъде трябва да имам грешка защото има разминаване с отговорът тук,но не мога да видя къде бъркам)

[tex] t = 3 \pm \sqrt{10} [/tex] като [tex] t = 3 - \sqrt{10} \notin [0; \infty ) [/tex]

Тогава функцията намалява от [tex] [0 ; 3 + \sqrt{10}) [/tex] и расте от [tex] [ 3 + \sqrt{10} ; + \infty ) [/tex],като при [tex] t = 3 + \sqrt{10} [/tex] има локален (в последствие ще се види че е и абсолютен) минимум,и той е:

[tex] f(3 + \sqrt{10}) = -\frac{ \sqrt{10}}{20 + 6\sqrt{10} } [/tex]

Сега да видим как се държи функцията в безкрайност:

[tex] lim f(t -> +\infty ) = lim \frac{3 - t}{t^2 + 1 } = 0 [/tex] (сори не знам как да сложа t-то под lim-еса)


т.е. граничи с нула.Сега искам да видя с по-големи или с по-малки стойности f(t) граничи с нулата (това мисля че може да стане пак със лимес,ама го забравих как става ),затова проверявам неравенството:

[tex] \frac{3 - t}{t^2 + 1 } < 0 [/tex]

от където получавам [tex] t \in (3 ; +\infty ) [/tex]

Сега намираме стойностите в точките t=1,t=2 и t=3:

[tex] f(1) = 1 ; f(2) = \frac{1}{5} ; f(3) = 0 [/tex]

Изглежда налудничаво и много заобиколно но смятам че по стандартния начин за изследване на функция ще отнеме повече време и труд,а това беше единствената идея която ми дойде.
За сметка на това пък сега вече знам как изглежда (приблизително) графиката:

Сори,не можах по добре да я начертая.
Вижда се че правата с уравнение [tex] y = a [/tex] пресича графиката на [tex] f(t) [/tex] само в една точка при [tex] a \in [0;3] [/tex], както и в абсолютния минимум.

[nikolavp]

[ганка симеонова]

r2d2 не напразно ви пусна примерна задача, но не знам защо тази упорито отказвате, да я решите по същия начин?

[r2d2]

Тази зада4а има много решения и всяко си заслужава да се обсъди!

[r2d2]

[tex]\sqrt{x-3}+ax=2a+3. [/tex]

Полагаме [tex]\sqrt{x-3}=t \ge 0 [/tex]и получаваме [tex]a(t^2+3)=3-t.[/tex]

Получихме нова задача: Кога семейството от криви [tex]y=F(a,t)[/tex] и лъча [tex]y=3-t[/tex] имат точно една пресечна точка.
Кривите[tex] y=F(a,t)[/tex] са полупараболите [tex](t \ge 0)[/tex] с върхове в точките (3а,0) и лъча у=0.

Не е необходимо много прозорливост за да се нарисува следната картинка.

Ясно е, че 1 решение имаме за [tex]0\le a\le 3[/tex] и за това а<0, при което виолетовата парабола се допира до y=3-t .

[r2d2]

Друго решение:
Записваме уавнението във вида [tex]\sqrt{x-3}=-ax+2a+3.[/tex]

Графиката на[tex] y=\sqrt{x-3}[/tex] е горната полoвина на парабола с ос -абсцисата и връх в т. (3;0) (разберете защо).

y=-ax+2a+3 e семейство прави.
А. При а=0 правата от това семейство у=3 пресича графиката на [tex] y=\sqrt{x-3}[/tex] само веднаж.

Б. ако а≠0 всяка права от това семейство пресича абсцисата
Б1. Нека прес. точка има абсциса > 3. Очевидно такива прави пресичат графиката на [tex] y=\sqrt{x-3}[/tex] само веднаж. Прес. точка на y=-ax+2a+3 с абсцисната ос е с координати ([tex]\frac {2a+3}{a};0[/tex]).
[tex]\frac {2a+3}{a}>3 \Rightarrow \frac{3-a}{a}>0 \Rightarrow a \in (0;3).[/tex]

Случаите Б2 - прес. точка с абсциса 3 и Б3. прес. точка с абсциса <3 се разглеждат аналогично.

[r2d2]

Написах горното за да покажа, че дадената задача не исисква познания от диференцилно смятане, а сaмо здрав разум.

Много кандидатстуденти явно са решили, че ключ за превземането на Алма Матер са тези знания, които за съжаление се свеждат (за много от тях) до наизустяване на някакви правила (алгоритми). По тоzи начин те заприличват на бай Ганьо, който увлечен от "алафрангата" се опитва да говори на френски и ръси бисер след бисер!