Задачка за правоъгълен триъгълник

[Hrisseto]

Имам затруднение с една задача и моля да ми помогнете. Ето я:
Радиусът на вписаната в правоъгълен триъгълник окръжност е r= 5, а радиусът на външновписаната окръжност, която се допира до хипотенузата, е R=42.Намерете страните на триъгълника.
Много ви благодаря!

[Реклама]

[natalia_93]

Мисля, че се използва формулата за радиус на вписана в правоъгълен триъгълник окръжност: r= a+b-c върху 2, но не съм много сигурна.

[Hrisseto]

Да, но не ми се получава. Моля ви, спешно е за утре!

[martosss]

[tex]O_1MCL,\: OPCK[/tex] - квадрати => [tex]KC=OP=R=\frac{a+b+c}{2},\; LC=CM=LO_1=O_1M=r=\frac{a+b-c}{2}\Right[/tex]

[tex]\red \Right a+b=R+r=47[/tex] (1)

[tex]S_{\Del ABC}=\frac{ab}{2}=S_{OPCK}-S_{OPRAK}=R^2-R*\frac{AK+AB+BP}{2}=R^2-R*c=R(R-c)\Right [/tex]

[tex]\red \Right ab=2R(R-c)[/tex] (2)

[tex]\Delta ABC[/tex] - правоъгълен [tex]\Right[/tex]

[tex]\red \Right a^2+b^2=c^2[/tex] (3)

От (3) =>[tex](a+b)^2-2ab=c^2[/tex]

Сега заместваме с (1) и (2) и получаваме:

[tex]47^2-4*47^2+4*47c=c^2[/tex]

От тук намираш "с" и използвайки (1) и (2) намираш "а" и "b"

[Hrisseto]

Благодаря ти много!