Моля ви помогнете ми за една задака !

[Mulen]

Четериъгълник АBCD е вписан в окръжност с център О и AC е перпендикулярна на BD . От пресечната точка S на диагоналите са спуснати перпендикулярите SM към AB, SN към BC, SP към CD и SQ към DA . Да се докаже че:
а)Четериъгълникът MNPQ е ограден
б) центърът на описаната около MNPQ окръжност е среда на SO и тази окръжност минава през седите на AB, BC, CD и DA.
Моля ви помогнете . Ако е възможно със знанията за 8-ми клас. Благодаря предварително !

[Реклама]

[Пафнутий]

Какво означава ограден четириъгълник

[ганка симеонова]

вписан

[Пафнутий]

Използвай, че [tex]AMSQ,BNSM,CPSN,DPSQ[/tex] са вписани и оттам [tex] \angle QMS=\angle QAS=\frac{QS}{2}[/tex]-дъгата И аналогично за другите ъгли и използвай, че[tex] \angle DBC=\angle CAD ,\angle ACB=\angle BDA,\angle DCA=\angle DBA[/tex]
ПП Ако се затрудниш пиши

[Mulen]

Моля ви начертайте я и ми я обяснете по подробно щото бавно схващам плс , а доколкото четериъгълнициите ги доказах, че са вписани. Може от там да напишете решението. Благодаря предварително .

[ганка симеонова]

изчакай малко

[Mulen]

ок
мерси

[ганка симеонова]

[tex]\Delta ASD[/tex]-правоъгълен =>[tex]\angle DAS+\angle ADS=\alpha +\beta =180^\circ [/tex]

QSPD- вписан, защото [tex]\angle Q+\angle P=90^\circ =>\angle QDS=\angle QPS=\frac{1}{2 }QS[/tex]дъга

анмалогично и за останалите четириъгълници.
тогава [tex]\angle QMN+\angle QPN=2\alpha +2\beta =180^\circ [/tex]=> четириъгълникът е вписан

тъй като SQ,SP,SM,SN се явяват ъглополовящи и се пресичат в една точка , то ветириъгълникът е вписан=> е ограден
ЗАБ: да е жив и здрав Мартсс, че ме открехна,какво значи ограден- вписан и описан

[Mulen]

Благодаря за а) , но някой може ли да реши б) щото от нея ми зависи оценката за годината плс

[ганка симеонова]

споко. да помислим все пак. днес ще я имаш

[martosss]

Ето ти една идея, върху която може да помислиш - вземи центъра на Описана около MNPQ окръжност(примерно да е К) и се опитай да докажеш, че [tex]\vec{KS} = \frac{\vec{OS}}{2}[/tex] или [tex]\vec{KO} = \frac{\vec{PO}}{2}[/tex] Не знам дали ще проработи, може да пробваш
Друга възможност е да вземеш и средата на ОР (примерно F) и да докажеш направо, че [tex]\vec{KP} = \vec{FP}[/tex] не знам дали ще е лесно, но може да пробваш

[Пафнутий]

И аз опитах с вектори, но се отказах Пък и ме съмнява може да се реши само с вектори(8 клас), понеже неслучайно е дадено, че се перпендикулярни диагоналите

[ганка симеонова]

така, сега ще докажем, че окръжността минава през средите на четириъгълника.
а за това че лежи на симетралата на SO, все още го мисля
страните на червения четириъгълник са средни отсечки в триъгълниците

разглеждаме прав. триъгълник BSC; K- среда за ВС, следователно SKC- равнобедрен и [tex]\angle SKC=2\alpha [/tex]

[tex]\angle QMN=2\alpha [/tex]- вписан и тогава хордата QN се вижда, от точка М под този ъгъл. но[tex]\angle QKN=2\alpha [/tex]=> QN се вижда от точка К пак под същия ъгъл => т.К лежи на окръжността. аналогично се доказва, че другите среди лежат на нея.

[Пафнутий]

[ганка симеонова]

да направим и последния елемент. пускам трети, най- пълен чертеж

[tex] \angle TQK=90^\circ =>TK- [/tex]-диаметър=>[tex]O_{1}\in TK [/tex]

[tex]\angle MQP+\angle PNM=180^\circ [/tex]

[tex]\Delta MQP [/tex] еднакъв на [tex]\Delta PNM [/tex]=>[tex]\angle MQP=\angle PNM=90^\circ [/tex]

=>[tex]\angle CAB=45^\circ =>\angle COB=90^\circ [/tex]-централен ъгъл

[tex]=>\Delta COB [/tex]-правоъгълен и ОК- медиана към хипотенузата СВ =>

[tex]OK=\frac{1}{2 }CB=SK [/tex]

[tex]=>K\in S_{OS} [/tex]

аналогично доказваме, че [tex]T \in S_{OS} =>TK\equiv S_{OS} =>O_{1}\in S_{OS} [/tex]