LVII Национална Олимпиада по Математика Национален кръг 2008

[Saposto_MM]

Тема за 8 клас

Задача 1. Дадени са неотрицателните реални числа a, b и c.
а) Ако 0≤a≤b≤c, да се докаже, че
a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-b)(c-a)≥0.
б) Да се намери най-голямото реално число , за което неравенството
(a+b+c)³≥k(a+b+c)(ab+ac+bc)+(27-9k)abc
е изпълнено независимо от избора на неотрицателните реални числа a, b и c.
Задача 2. Вписаната окръжност в триъгълник ABC допира страните BC, CA и AB съответно в точки D, E и F . Точка K от правата DF и точка L от правата EF са такива, че AK||BL||DE. Да се докаже, че
а) точките A, E, F и K лежат на една окръжност;
б) точките C, K и L лежат на една права.
Задача 3. В шампионат по хандбал участват n отбора от различни градове. Всеки ден три от отборите гостуват на четвърти отбор, играят по един мач с него, както и по един мач помежду си (мачове "на неутрален терен"). В това време останалите отбори почиват. При приключване на шампионата всеки отбор трябва да е бил домакин еднакъв брой пъти, като всеки два отбора трябва да са играли точно един мач помежду си. Определете най-малката стойност на n.

[Реклама]

[martosss]

Хах, доста учене си трябва да ги направиш тия красоти.. а олимпиадата 4.5 часа ли беше?

[plamenchooo]

а някъде има ли задачите за 7-ми клас???
ако някой знае да пише.

[The Pink Panther]

А може ли някой да напише решенията на задачите?